Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Las bicicletas de alquiler de una ciudad se clasifican por su calidad: buena, media y mala. El 30 % de dichas bicicletas son gestionadas por una empresa $E_1$ y el resto por una empresa $E_2$. De las bicicletas de la empresa $E_1$, el 80 % son de buena calidad, el 5 % de calidad media y el resto de mala calidad. De las bicicletas de la empresa $E_2$ se sabe que el 60 % son de buena calidad, pero se desconocen los porcentajes de bicicletas de calidad media y calidad mala. Se elige al azar una bicicleta de alquiler de esa ciudad.

a) Calcule la probabilidad de que sea de buena calidad. (1 punto)

b) Calcule la probabilidad de que sea de la empresa $E_1$ y de mala calidad. (0,75 puntos)

c) Si se sabe que el porcentaje de bicicletas de alquiler de calidad media en toda la ciudad es del 19 %, ¿cuál es la probabilidad de que sea de calidad media, sabiendo que la bicicleta elegida es de la empresa $E_2$? (0,75 puntos)

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que sea de buena calidad. (1 punto)}$

Nombramos los sucesos:

$E_1\equiv$ la bicicleta la gestiona la empresa $E_1$,
$E_2\equiv$ la bicicleta la gestiona la empresa $E_2$,
$B\equiv$ la bicicleta es de buena calidad,
$M\equiv$ la bicicleta es de calidad media,
$L\equiv$ la bicicleta es de mala calidad.

Las dos empresas forman un sistema completo de sucesos, con $P(E_1)=0{,}30$ y $P(E_2)=0{,}70$. De la empresa $E_1$, el porcentaje de mala calidad se obtiene por diferencia: $100-80-5=15$ %. De la empresa $E_2$ solo se conoce el 60 % de buena calidad; llamamos $q$ a la proporción de calidad media.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(B)=P(E_1)P(B/E_1)+P(E_2)P(B/E_2) =0{,}30\cdot 0{,}80+0{,}70\cdot 0{,}60$

$P(B)=0{,}24+0{,}42=0{,}66$

La probabilidad de que la bicicleta sea de buena calidad es $0{,}66$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que sea de la empresa } \boldsymbol{E_1}\textbf{ y de mala calidad. (0,75 puntos)}$

Se recorre una sola rama del árbol y se multiplican sus probabilidades.

$P(E_1\cap L)=P(E_1)\cdot P(L/E_1)=0{,}30\cdot 0{,}15=0{,}045$

La probabilidad de que sea de la empresa $E_1$ y de mala calidad es $0{,}045$.

$\textbf{c) Si se sabe que el porcentaje de bicicletas de alquiler de calidad media en toda la ciudad es del 19 \%, ¿cuál es la probabilidad de que sea de calidad media, sabiendo que la bicicleta elegida es de la empresa } \boldsymbol{E_2}\textbf{? (0,75 puntos)}$

Nos piden $P(M/E_2)=q$. Planteamos el teorema de la probabilidad total para la calidad media y despejamos.

$P(M)=P(E_1)P(M/E_1)+P(E_2)P(M/E_2)$

$0{,}19=0{,}30\cdot 0{,}05+0{,}70\cdot q \Rightarrow 0{,}19=0{,}015+0{,}70q$

$0{,}70q=0{,}175 \Rightarrow q=\dfrac{0{,}175}{0{,}70}=0{,}25$

Sabiendo que la bicicleta es de la empresa $E_2$, la probabilidad de que sea de calidad media es $0{,}25$.