Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una población, se sabe que el 15 % de las personas padece una determinada enfermedad. Si la persona está enferma, un test da positivo en el 92 % de los casos, mientras que si la persona está sana, el test da positivo en el 4 % de los casos (falso positivo). Se elige una persona al azar de esa población.

a) Calcule la probabilidad de que, habiendo dado positivo el test, la persona esté enferma. (1,25 puntos)

b) Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma y el test salga negativo. (0,5 puntos)

c) Calcule la probabilidad de que saliendo el test negativo, la persona esté enferma. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que, habiendo dado positivo el test, la persona esté enferma. (1,25 puntos)}$

Nombramos los sucesos:

$E\equiv$ la persona está enferma,
$\overline{E}\equiv$ la persona está sana,
$+ \equiv$ el test da positivo,
$- \equiv$ el test da negativo.

Del enunciado, $P(E)=0{,}15$, $P(+/E)=0{,}92$ y $P(+/\overline{E})=0{,}04$. Hacemos el diagrama de árbol.



Calculamos primero $P(+)$ por el teorema de la probabilidad total.

$P(+)=P(E)P(+/E)+P(\overline{E})P(+/\overline{E}) =0{,}15\cdot 0{,}92+0{,}85\cdot 0{,}04$

$P(+)=0{,}138+0{,}034=0{,}172$

Aplicamos ahora el teorema de Bayes.

$P(E/+)=\dfrac{P(E)P(+/E)}{P(+)}=\dfrac{0{,}138}{0{,}172} =\dfrac{69}{86}\approx 0{,}8023$

Habiendo dado positivo el test, la probabilidad de que la persona esté enferma es $\dfrac{69}{86}\approx 0{,}8023$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que la persona esté enferma y el test salga negativo. (0,5 puntos)}$

Se recorre una sola rama del árbol y se multiplican sus probabilidades.

$P(E\cap -)=P(E)\cdot P(-/E)=0{,}15\cdot 0{,}08=0{,}012$

La probabilidad de que la persona esté enferma y el test salga negativo —lo que se llama un falso negativo— es $0{,}012$.

$\textbf{c) Calcule la probabilidad de que saliendo el test negativo, la persona esté enferma. (0,75 puntos)}$

Es una probabilidad a posteriori. El denominador es el suceso contrario de dar positivo.

$P(-)=1-P(+)=1-0{,}172=0{,}828$

$P(E/-)=\dfrac{P(E\cap -)}{P(-)}=\dfrac{0{,}012}{0{,}828} =\dfrac{1}{69}\approx 0{,}0145$

Saliendo el test negativo, la probabilidad de que la persona esté enferma es $\dfrac{1}{69}\approx 0{,}0145$.