Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Se desea probar la eficacia de dos tipos de vacunas, $A$ y $B$, contra un virus determinado. Para ello, se seleccionan 5000 voluntarios sin anticuerpos para este virus, a los que se les administra una de las vacunas o un placebo, resultando que 3000 reciben la vacuna $A$, 1500 la $B$ y el resto el placebo. Se comprueba que el 90 % de los vacunados con la $A$ y el 95 % de los vacunados con la $B$ generan anticuerpos, no generando anticuerpos los que han recibido el placebo. Se selecciona uno de esos voluntarios al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya generado anticuerpos? (1,5 puntos)

b) Si dicho voluntario no ha generado anticuerpos, ¿qué probabilidad hay de que se le haya administrado placebo? (1 punto)

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya generado anticuerpos? (1,5 puntos)}$

Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ el voluntario ha recibido la vacuna $A$,
$B\equiv$ el voluntario ha recibido la vacuna $B$,
$P\equiv$ el voluntario ha recibido el placebo,
$G\equiv$ el voluntario genera anticuerpos.

Los tres tratamientos forman un sistema completo de sucesos. El número de voluntarios que reciben placebo se obtiene por diferencia: $5\,000-3\,000-1\,500=500$. Aplicando la regla de Laplace,

$P(A)=\dfrac{3\,000}{5\,000}=0{,}6 \qquad P(B)=\dfrac{1\,500}{5\,000}=0{,}3 \qquad P(P)=\dfrac{500}{5\,000}=0{,}1$

Hacemos el diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(G)=P(A)P(G/A)+P(B)P(G/B)+P(P)P(G/P)$

$P(G)=0{,}6\cdot 0{,}90+0{,}3\cdot 0{,}95+0{,}1\cdot 0 =0{,}54+0{,}285=0{,}825$

La probabilidad de que el voluntario elegido haya generado anticuerpos es $0{,}825$.

$\textbf{b) Si dicho voluntario no ha generado anticuerpos, ¿qué probabilidad hay de que se le haya administrado placebo? (1 punto)}$

Es una probabilidad a posteriori. Utilizamos el teorema de Bayes.

$P(\overline{G})=1-P(G)=1-0{,}825=0{,}175$

$P(P/\overline{G})=\dfrac{P(P)P(\overline{G}/P)}{P(\overline{G})} =\dfrac{0{,}1\cdot 1}{0{,}175} =\dfrac{4}{7}\approx 0{,}5714$

Si el voluntario no ha generado anticuerpos, la probabilidad de que se le haya administrado placebo es $\dfrac{4}{7}\approx 0{,}5714$.