Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En una determinada región hay tres universidades $A$, $B$ y $C$. De los estudiantes que terminaron sus estudios el año pasado, el 60 % procedían de la universidad $A$, el 30 % de la universidad $B$ y el resto de $C$. Además, se conoce que la probabilidad de que un estudiante de la universidad $A$ no encuentre trabajo en su región es $0{,}4$ y para un estudiante de $B$ es $0{,}5$.

a) Si la probabilidad de que un estudiante no encuentre trabajo en su región es $0{,}395$, determine la probabilidad de que un estudiante de la universidad $C$ encuentre trabajo en su región. (1,5 puntos)

b) Calcule la probabilidad de que un estudiante que no haya encontrado trabajo en su región proceda de la universidad $A$ o de la $B$. (1 punto)

$\textbf{a) Si la probabilidad de que un estudiante no encuentre trabajo en su región es } \boldsymbol{0{,}395}\textbf{, determine la probabilidad de que un estudiante de la universidad } \boldsymbol{C}\textbf{ encuentre trabajo en su región. (1,5 puntos)}$

Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ el estudiante procede de la universidad $A$,
$B\equiv$ el estudiante procede de la universidad $B$,
$C\equiv$ el estudiante procede de la universidad $C$,
$T\equiv$ el estudiante encuentra trabajo en su región,
$\overline{T}\equiv$ el estudiante no encuentra trabajo en su región.

Las tres universidades forman un sistema completo de sucesos. El porcentaje de la universidad $C$ se obtiene por diferencia: $100-60-30=10$ %.

Llamamos $p=P(\overline{T}/C)$, que es la incógnita, y hacemos el diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(\overline{T})=P(A)P(\overline{T}/A)+P(B)P(\overline{T}/B)+P(C)P(\overline{T}/C)$

$0{,}395=0{,}6\cdot 0{,}4+0{,}3\cdot 0{,}5+0{,}1\cdot p$

$0{,}395=0{,}24+0{,}15+0{,}1p \Rightarrow 0{,}1p=0{,}005 \Rightarrow p=0{,}05$

La probabilidad de que un estudiante de la universidad $C$ no encuentre trabajo es $0{,}05$, luego la de que sí lo encuentre es

$P(T/C)=1-0{,}05=0{,}95$

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que un estudiante que no haya encontrado trabajo en su región proceda de la universidad } \boldsymbol{A}\textbf{ o de la } \boldsymbol{B}\textbf{. (1 punto)}$

Es una probabilidad a posteriori. Utilizamos el teorema de Bayes; como $A$ y $B$ son incompatibles, sus aportaciones se suman.

$P\left((A\cup B)/\overline{T}\right) =\dfrac{P(A)P(\overline{T}/A)+P(B)P(\overline{T}/B)}{P(\overline{T})}$

$P\left((A\cup B)/\overline{T}\right) =\dfrac{0{,}24+0{,}15}{0{,}395} =\dfrac{0{,}39}{0{,}395} =\dfrac{78}{79}\approx 0{,}9873$

La probabilidad de que proceda de la universidad $A$ o de la $B$ es $\dfrac{78}{79}\approx 0{,}9873$.