Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Un grupo de turistas programa una visita a la Geoda de Pulpí. El 42 % de los turistas del grupo proceden de Andalucía, el 32 % de otras comunidades autónomas y el resto del extranjero. Son mayores de edad el 65 % de los visitantes que proceden de Andalucía y el 75 % de los que proceden de otras comunidades autónomas. Son menores de edad el 20 % de los visitantes extranjeros.

Elegido un turista de este grupo al azar, halle la probabilidad de que:

a) Sea mayor de edad. (1 punto)

b) Proceda de Andalucía y sea menor de edad. (0,5 puntos)

c) Sea extranjero sabiendo que es menor de edad. (1 punto)

$\textbf{a) Sea mayor de edad. (1 punto)}$

Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ el turista procede de Andalucía,
$O\equiv$ el turista procede de otra comunidad autónoma,
$E\equiv$ el turista procede del extranjero,
$M\equiv$ el turista es mayor de edad,
$\overline{M}\equiv$ el turista es menor de edad.

Los tres orígenes forman un sistema completo de sucesos. El porcentaje de extranjeros se obtiene por diferencia: $100-42-32=26$ %. Del enunciado, el 20 % de los extranjeros son menores, luego el 80 % son mayores.

Hacemos un diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(M)=P(A)P(M/A)+P(O)P(M/O)+P(E)P(M/E)$

$P(M)=0{,}42\cdot 0{,}65+0{,}32\cdot 0{,}75+0{,}26\cdot 0{,}80$

$P(M)=0{,}273+0{,}24+0{,}208=0{,}721$

La probabilidad de que el turista elegido sea mayor de edad es $0{,}721$.

$\textbf{b) Proceda de Andalucía y sea menor de edad. (0,5 puntos)}$

Se recorre una sola rama del árbol y se multiplican sus probabilidades.

$P(A\cap\overline{M})=P(A)\cdot P(\overline{M}/A)=0{,}42\cdot 0{,}35=0{,}147$

La probabilidad de que proceda de Andalucía y sea menor de edad es $0{,}147$.

$\textbf{c) Sea extranjero sabiendo que es menor de edad. (1 punto)}$

Es una probabilidad a posteriori. Utilizamos el teorema de Bayes. Como el suceso «ser menor de edad» es el contrario de «ser mayor de edad»,

$P(\overline{M})=1-P(M)=1-0{,}721=0{,}279$

$P(E/\overline{M})=\dfrac{P(E)\cdot P(\overline{M}/E)}{P(\overline{M})} =\dfrac{0{,}26\cdot 0{,}20}{0{,}279} =\dfrac{0{,}052}{0{,}279} =\dfrac{52}{279}\approx 0{,}1864$

La probabilidad de que sea extranjero sabiendo que es menor de edad es $\dfrac{52}{279}\approx 0{,}1864$.