Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2022

Se consideran los vectores $\vec{u} = (-1, 2, 3)$ y $\vec{v} = (2, 0, -1)$, así como el punto $A(-4, 4, 7)$.

a) Calcule $a$ y $b$ para que el vector $\vec{w} = (1, a, b)$ sea ortogonal a $\vec{u}$ y $\vec{v}$. [0,75 puntos]

b) Determine los cuatro vértices de un paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, y que tiene al vector $\overrightarrow{OA}$ como una de sus diagonales, siendo $O$ el origen de coordenadas. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que el vector } \boldsymbol{\vec{w} = (1, a, b)}\textbf{ sea ortogonal a } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es nulo, así que imponemos esa condición con cada uno de los dos vectores dados.

$\vec w\cdot\vec u=1\cdot(-1)+a\cdot2+b\cdot3=-1+2a+3b=0$

$\vec w\cdot\vec v=1\cdot2+a\cdot0+b\cdot(-1)=2-b=0$

La segunda ecuación da directamente $b$:

$b=2$

y sustituyendo en la primera:

$-1+2a+6=0\Rightarrow 2a=-5\Rightarrow a=-\dfrac{5}{2}$

Los valores pedidos son $a=-\dfrac{5}{2}$ y $b=2$.

$\textbf{b) Determine los cuatro vértices de un paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de los vectores } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{, y que tiene al vector } \boldsymbol{\overrightarrow{OA}}\textbf{ como una de sus diagonales, siendo } \boldsymbol{O}\textbf{ el origen de coordenadas. [1,75 puntos]}$











Si la diagonal va del origen a $A$, los otros dos vértices son los extremos de los lados que parten de $O$, uno en la dirección de $\vec u$ y otro en la de $\vec v$. La propiedad del paralelogramo dice que la diagonal es la suma de esos dos lados.

$\overrightarrow{OB}=\lambda\vec u;\qquad \overrightarrow{OC}=\mu\vec v$

$\lambda\vec u+\mu\vec v=\overrightarrow{OA}$





$\lambda(-1,2,3)+\mu(2,0,-1)=(-4,4,7)$

Igualando coordenada a coordenada:

$\begin{cases}-\lambda+2\mu=-4\\ 2\lambda=4\\ 3\lambda-\mu=7\end{cases}$

La segunda ecuación da $\lambda=2$, y llevándolo a la tercera:

$6-\mu=7\Rightarrow \mu=-1$

Comprobamos en la primera, que aún no se ha usado: $-2+2\cdot(-1)=-4$. El sistema es compatible, luego el paralelogramo existe.

$\overrightarrow{OB}=2\,(-1,2,3)=(-2,4,6);\qquad \overrightarrow{OC}=-1\,(2,0,-1)=(-2,0,1)$

Comprobamos que la suma de los dos lados reproduce la diagonal: $(-2,4,6)+(-2,0,1)=(-4,4,7)$.

Los cuatro vértices del paralelogramo son $O(0,0,0)$, $B(-2,4,6)$, $A(-4,4,7)$ y $C(-2,0,1)$, tomados en ese orden alrededor de la figura.