Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Se quiere colocar un satélite en una órbita circular alrededor de la Tierra de tal manera que tarde 16 h en dar dos vueltas a nuestro planeta. Determine cuál debe ser el radio de la órbita. [2 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$, masa de la Tierra $=\mathrm{5,972}\cdot {10}^{24}\text{ kg}$.

La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria, y como el movimiento es circular uniforme esa fuerza es la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

Y la velocidad de un movimiento circular uniforme se relaciona con el periodo:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$





Sustituyendo la velocidad en la ecuación anterior y simplificando la masa del satélite:

$G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}={\displaystyle \frac{1}{r}}{\left({\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\right)}^2={\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}$

$GM{T}^2=4{\pi }^2{r}^3$

De donde se despeja el radio de la órbita, que es lo que pide el enunciado. Esta expresión no es otra cosa que la tercera ley de Kepler:

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}}$

El satélite debe dar dos vueltas en 16 horas, así que su periodo es:

$T={\displaystyle \frac{16}{2}}=8\text{ h}=8\cdot 3600=28800\text{ s}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,972}\cdot {10}^{24}\cdot {28800}^2}{4{\pi }^2}}}$

$r=\sqrt[3]{\mathrm{8,37}\cdot {10}^{21}}=\mathrm{2,03}\cdot {10}^7\text{ m}$

El radio de la órbita debe ser $\mathrm{2,03}\cdot {10}^7\text{ m}$, es decir, unos 20300 km medidos desde el centro de la Tierra, lo que corresponde a una altura sobre la superficie de unos 13900 km.