Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Un satélite orbita alrededor de un planeta describiendo una circunferencia de radio $\mathrm{5,6}\cdot {10}^7\text{ m}$ y tarda 12 h en dar una vuelta completa. Determine la masa del planeta. [2 puntos]

Datos: constante de gravitación universal $(G)=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$.

La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria que le hace el planeta, y como su movimiento es circular uniforme, esa fuerza es precisamente la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

Y en un movimiento circular uniforme la velocidad se relaciona con el periodo:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$





Se sustituye la velocidad en la ecuación anterior y se simplifica la masa del satélite, que no interviene en el resultado:

$G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}={\displaystyle \frac{1}{r}}\cdot {\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^2}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}$

De donde se despeja la masa del planeta:

$M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}$

Se expresa el periodo en unidades del Sistema Internacional:

$T=12\text{ h}=12\cdot 3600=43200\text{ s}$

Y se sustituye:

$M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2\cdot (\mathrm{5,6}\cdot {10}^7{)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot {43200}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,93}\cdot {10}^{24}}{\mathrm{0,1245}}}$

$M=\mathrm{5,57}\cdot {10}^{25}\text{ kg}$

La masa del planeta es $\mathrm{5,57}\cdot {10}^{25}\text{ kg}$, unas diez veces la de la Tierra: se trata de un planeta gigante.