Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Un satélite describe una órbita circular de $\mathrm{2,2}\cdot {10}^5\text{ km}$ de radio alrededor de un planeta, siendo su periodo de revolución 48 días. Cuál es la masa del planeta. [2 puntos]

Datos: $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$.

La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria, y como el movimiento es circular uniforme esa fuerza es la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$

Y la velocidad de un movimiento circular uniforme se relaciona con el periodo de revolución:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$





Sustituyendo y simplificando la masa del satélite, que no interviene en el resultado:

$G{\displaystyle \frac{M}{r^2}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}$

De donde se despeja la masa del planeta, que es lo que pide el enunciado:

$M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}}$

Se expresan los datos en unidades del Sistema Internacional:

$r=\mathrm{2,2}\cdot {10}^5\text{ km}=\mathrm{2,2}\cdot {10}^8\text{ m}$

$T=48\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}\cdot {\displaystyle \frac{86400\text{ s}}{1\text{d}\acute{\text{ı}}\text{a}}}=\mathrm{4,147}\cdot {10}^6\text{ s}$

Y se sustituye:

$M={\displaystyle \frac{4{\pi }^2\cdot (\mathrm{2,2}\cdot {10}^8{)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot (\mathrm{4,147}\cdot {10}^6{)}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{4,204}\cdot {10}^{26}}{1147}}$

$M=\mathrm{3,66}\cdot {10}^{23}\text{ kg}$

La masa del planeta es $\mathrm{3,66}\cdot {10}^{23}\text{ kg}$, del orden de la de Marte y unas dieciséis veces menor que la de la Tierra.