Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Determine la velocidad inicial a la que hay que lanzar un cohete verticalmente, desde la superficie de la Tierra, para que ascienda a una altura de 900 km. [2 puntos]

Datos: constante de gravitación universal $(G)=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$; masa de la Tierra $(M_T)=6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; radio de la Tierra $(R_T)=6370\text{ km}$.

El cohete se lanza desde la superficie y debe llegar a la altura pedida. Como la única fuerza que actúa sobre él es la gravitatoria, que es conservativa, la energía mecánica se conserva entre los dos puntos:

$E_c(R)+E_p(R)=E_c(r)+E_p(r)$

En el punto más alto de la trayectoria el cohete se detiene, de modo que allí la energía cinética es nula.





Escribiendo cada término:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}=0-G{\displaystyle \frac{Mm}{R+h}}$

Se simplifica la masa del cohete, que no interviene en el resultado:

${\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_0^2=GM({\displaystyle \frac{1}{R}}-{\displaystyle \frac{1}{R+h}})$

$v_0=\sqrt{2GM({\displaystyle \frac{1}{R}}-{\displaystyle \frac{1}{R+h}})}$

Se expresan los datos en unidades del Sistema Internacional:

$R=6370\text{ km}=\mathrm{6,370}\cdot {10}^6\text{ m}$

$h=900\text{ km}=9\cdot {10}^5\text{ m}\Rightarrow R+h=\mathrm{7,270}\cdot {10}^6\text{ m}$

Y se sustituye:

$v_0=\sqrt{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6,370}\cdot {10}^6}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{7,270}\cdot {10}^6}})}$

$v_0=\sqrt{\mathrm{1,56}\cdot {10}^7}=\mathrm{3,94}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Hay que lanzar el cohete con una velocidad inicial de $\mathrm{3,94}\cdot {10}^3\text{ m/s}$, es decir, unos $\mathrm{3,94}\text{ km/s}$.

El resultado es razonable: queda muy por debajo de la velocidad de escape desde la superficie terrestre, $\mathrm{11,2}\text{ km/s}$, como debe ser, porque el cohete no escapa del campo sino que solo alcanza una altura finita.