Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sea $A$ la matriz siguiente:

$A=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ -1& x\end{array}\right)$

Halle, justificando la respuesta, el valor de $x$ para el que se verifica $A^t=A^{-1}$, donde $A^t$ es la matriz traspuesta de $A$ y $A^{-1}$ la matriz inversa de $A$. [2 puntos]

Se calculan por separado la traspuesta y la inversa de $A$ y después se impone que coincidan. Para que exista la inversa, el determinante no puede ser nulo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}x& 1\\ -1& x\end{array}\mid =x^2+1$

El determinante $x^2+1$ es siempre positivo, de modo que la matriz tiene inversa para cualquier valor de $x$.

$A^t=\left(\begin{array}{cc}x& -1\\ 1& x\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\cdot (\mathrm{Adj}(A){)}^t={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}\left(\begin{array}{cc}x& -1\\ 1& x\end{array}\right)$

Las dos matrices tienen los mismos elementos salvo por el factor ${\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$, así que la igualdad se cumple exactamente cuando ese factor vale 1.

$A^t=A^{-1}\Rightarrow \left(\begin{array}{cc}x& -1\\ 1& x\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}\left(\begin{array}{cc}x& -1\\ 1& x\end{array}\right)$

$x^2+1=1\Rightarrow x^2=0\Rightarrow x=0$

Se comprueba el resultado para $x=0$:

$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)A^t=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=A^t$

El único valor que verifica $A^t=A^{-1}$ es $x=0$.