Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean $X$, $I$ y $O$ las matrices siguientes:

$X=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 3\end{array}\right)I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

Halle, justificando la respuesta, los valores del parámetro $a$ para los que se verifica

$X^2-4X+3I=O$

[2 puntos]

Se calcula el primer miembro en función del parámetro y se impone después que todos sus elementos sean nulos.

$X^2=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& 0\\ 0& 9\end{array}\right)$

$X^2-4X+3I=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& 0\\ 0& 9\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}4a& 0\\ 0& 12\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$

$X^2-4X+3I=\left(\begin{array}{cc}{a}^2-4a+3& 0\\ 0& 9-12+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2-4a+3& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

El elemento de la segunda fila se anula solo, así que la condición se reduce al de la primera.

$a^2-4a+3=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2}}$

$\{\begin{array}{l}a=3\\ a=1\end{array}$

Se comprueban los dos valores. Para $a=1$: $1-4+3=0$. Para $a=3$: $9-12+3=0$.

Los valores del parámetro que verifican la igualdad son $a=1$ y $a=3$.