Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dada la matriz

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& -1& 2\\ -2& 0& 1\end{array}\right)$

resuelva la ecuación $A^2\cdot X+A^4=A$. (2,5 puntos)

Comprobamos primero que $A$ tiene inversa, pues es lo que permite despejar $X$.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& -1& 2\\ -2& 0& 1\end{array}\mid =1\cdot (-1)-2\cdot (0+4)+0=-9\mathrm{\ne }0$

Como $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, también $\mathrm{\mid }{A}^2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A{\mathrm{\mid }}^2=81\mathrm{\ne }0$ y existe $(A^2{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^2$. Despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por $(A^2{)}^{-1}$.

$A^2\cdot X+A^4=A\Rightarrow A^2\cdot X=A-A^4$

$X=(A^2{)}^{-1}\cdot (A-A^4)=(A^2{)}^{-1}\cdot A-(A^2{)}^{-1}\cdot A^4$

Como $(A^2{)}^{-1}\cdot A=A^{-1}$ y $(A^2{)}^{-1}\cdot A^4=A^2$, la expresión se simplifica mucho:

$X=A^{-1}-A^2$

Calculamos $A^{-1}$ por el método de los adjuntos.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-1& -4& -2\\ -2& 1& -4\\ 4& -2& -1\end{array}\right)\Rightarrow {(\mathrm{Adj}(A))}^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 4\\ -4& 1& -2\\ -2& -4& -1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-9}}\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 4\\ -4& 1& -2\\ -2& -4& -1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{9}}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -4\\ 4& -1& 2\\ 2& 4& 1\end{array}\right)$

Calculamos ahora $A^2$.

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& -1& 2\\ -2& 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& -1& 2\\ -2& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 4\\ -4& 1& 0\\ -4& -4& 1\end{array}\right)$

Restamos las dos matrices.

$X={\displaystyle \frac{1}{9}}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -4\\ 4& -1& 2\\ 2& 4& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 4\\ -4& 1& 0\\ -4& -4& 1\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{9}}\left(\begin{array}{ccc}1-9& 2-0& -4-36\\ 4+36& -1-9& 2-0\\ 2+36& 4+36& 1-9\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{9}}\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& -40\\ 40& -10& 2\\ 38& 40& -8\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es

$X={\displaystyle \frac{1}{9}}\left(\begin{array}{ccc}-8& 2& -40\\ 40& -10& 2\\ 38& 40& -8\end{array}\right)$