Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Se consideran las matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 0& a& 1\\ 3& 4& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& -1\end{array}\right)$

donde $a$ es un número real.

a) Halle los valores del parámetro $a$ para que la matriz $A$ tenga inversa. (0,75 puntos)

b) Para $a=2$, calcule la matriz inversa de $A$. (0,75 puntos)

c) Para $a=2$, resuelva la ecuación matricial $X\cdot A+I_3=B^t\cdot C$. (1 punto)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Desarrollamos $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ por los elementos de la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}a& 1& 0\\ 0& a& 1\\ 3& 4& 1\end{array}\mid =a\cdot \mid \begin{array}{cc}a& 1\\ 4& 1\end{array}\mid -1\cdot \mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a(a-4)-(0-3)=a^2-4a+3=(a-1)(a-3)$

Imponemos que no se anule.

$(a-1)(a-3)\mathrm{\ne }0\Rightarrow a\mathrm{\ne }1\text{ y }a\mathrm{\ne }3$

La matriz $A$ tiene inversa para todo valor real de $a$ distinto de $1$ y de $3$.



Para $a=2$ la matriz es

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 2& 1\\ 3& 4& 1\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(2-1)(2-3)=-1\mathrm{\ne }0$

Calculamos la matriz de los adjuntos.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-2& 3& -6\\ -1& 2& -5\\ 1& -2& 4\end{array}\right)\Rightarrow {(\mathrm{Adj}(A))}^t=\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 1\\ 3& 2& -2\\ -6& -5& 4\end{array}\right)$

Aplicamos la fórmula de la matriz inversa.

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{Adj}(A))}^t={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 1\\ 3& 2& -2\\ -6& -5& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -3& -2& 2\\ 6& 5& -4\end{array}\right)$



Despejamos $X$ multiplicando por la derecha por $A^{-1}$.

$X\cdot A+I_3=B^t\cdot C\Rightarrow X\cdot A=B^t\cdot C-I_3\Rightarrow X=(B^t\cdot C-I_3)\cdot A^{-1}$

Calculamos el producto $B^t\cdot C$, que multiplica una matriz $3\times 1$ por otra $1\times 3$ y da una matriz $3\times 3$.

$B^t\cdot C=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 3& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 6& -2\\ -1& -3& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

Restamos la matriz identidad.

$B^t\cdot C-I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 6& -2\\ -1& -4& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

Multiplicamos por la inversa calculada en el apartado anterior.

$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 6& -2\\ -1& -4& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -3& -2& 2\\ 6& 5& -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-28& -21& 19\\ 16& 12& -11\\ -6& -5& 4\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es

$X=\left(\begin{array}{ccc}-28& -21& 19\\ 16& 12& -11\\ -6& -5& 4\end{array}\right)$