Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Se considera la matriz

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& m\\ 0& 2& -3\\ m& 1& 1\end{array}\right)$

con $m$ un parámetro real.

a) ¿Para qué valores del parámetro $m$ existe la matriz inversa de $A$? (0,7 puntos)

b) Para $m=2$, resuelva la ecuación matricial $X\cdot A-A^2=I_3$. (1,8 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(0,7}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Desarrollamos $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ por los elementos de la primera columna.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& m\\ 0& 2& -3\\ m& 1& 1\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 1\end{array}\mid +m\cdot \mid \begin{array}{cc}-1& m\\ 2& -3\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(2+3)+m(3-2m)=-2m^2+3m+5=-(2m-5)(m+1)$

Imponemos que no se anule.

$-(2m-5)(m+1)\mathrm{\ne }0\Rightarrow m\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{5}{2}}\text{ y }m\mathrm{\ne }-1$

Existe la matriz inversa de $A$ para todo valor real de $m$ distinto de ${\displaystyle \frac{5}{2}}$ y de $-1$.



Para $m=2$ la matriz es

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 2& -3\\ 2& 1& 1\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-(4-5)(2+1)=3\mathrm{\ne }0$

Despejamos $X$ multiplicando por la derecha por $A^{-1}$.

$X\cdot A-A^2=I_3\Rightarrow X\cdot A=A^2+I_3\Rightarrow X=(A^2+I_3)\cdot A^{-1}$

Calculamos $A^2$.

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 2& -3\\ 2& 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 0& 2& -3\\ 2& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& -1& 7\\ -6& 1& -9\\ 4& 1& 2\end{array}\right)$

$A^2+I_3=\left(\begin{array}{ccc}6& -1& 7\\ -6& 2& -9\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$

Calculamos $A^{-1}$ por el método de los adjuntos.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}5& -6& -4\\ 3& -3& -3\\ -1& 3& 2\end{array}\right)\Rightarrow {(\mathrm{Adj}(A))}^t=\left(\begin{array}{ccc}5& 3& -1\\ -6& -3& 3\\ -4& -3& 2\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}5& 3& -1\\ -6& -3& 3\\ -4& -3& 2\end{array}\right)$

Finalmente multiplicamos.

$X=\left(\begin{array}{ccc}6& -1& 7\\ -6& 2& -9\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}5& 3& -1\\ -6& -3& 3\\ -4& -3& 2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}8& 0& 5\\ -6& 3& -6\\ 2& 0& 5\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es

$X={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{ccc}8& 0& 5\\ -6& 3& -6\\ 2& 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{8}{3}}& 0& {\displaystyle \frac{5}{3}}\\ -2& 1& -2\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}& 0& {\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}\right)$