Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Se considera la matriz

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 2\\ 0& 2& a\end{array}\right)$

a) Determine para qué valores del parámetro $a$ la matriz $A$ tiene inversa. (0,7 puntos)

b) Para $a=1$, calcule la inversa de $A$. (1 punto)

c) Para $a=1$, resuelva la ecuación matricial $A\cdot X=B^t$, siendo $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\end{array}\right)$. (0,8 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{(0,7}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Desarrollamos $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ por los elementos de la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 2\\ 0& 2& a\end{array}\mid =2\cdot \mid \begin{array}{cc}0& 2\\ 2& a\end{array}\mid -1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 0& a\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2(0-4)-(a-0)=-8-a$

Imponemos que no se anule.

$-8-a\mathrm{\ne }0\Rightarrow a\mathrm{\ne }-8$

La matriz $A$ tiene inversa para todo valor real de $a$ distinto de $-8$.



Para $a=1$ la matriz es

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 0& 2\\ 0& 2& 1\end{array}\right),\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-8-1=-9\mathrm{\ne }0$

Calculamos la matriz de los adjuntos.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-4& -1& 2\\ -1& 2& -4\\ 2& -4& -1\end{array}\right)$

Esta matriz resulta simétrica, así que coincide con su traspuesta.

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{(\mathrm{Adj}(A))}^t={\displaystyle \frac{1}{-9}}\left(\begin{array}{ccc}-4& -1& 2\\ -1& 2& -4\\ 2& -4& -1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{9}}\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& -2& 4\\ -2& 4& 1\end{array}\right)$



Despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$.

$A\cdot X=B^t\Rightarrow X=A^{-1}\cdot B^t$

La matriz $B^t$ es de dimensión $3\times 1$, luego $X$ también lo será.

$X={\displaystyle \frac{1}{9}}\left(\begin{array}{ccc}4& 1& -2\\ 1& -2& 4\\ -2& 4& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{9}}\left(\begin{array}{c}0+1+2\\ 0-2-4\\ 0+4-1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{9}}\left(\begin{array}{c}3\\ -6\\ 3\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es

$X=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ -{\displaystyle \frac{2}{3}}\\ {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$