Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean $A$, $B$ e $I$ las matrices siguientes:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 2& -1\end{array}\right)B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

Halle, justificando la respuesta, la matriz $X$ que sea solución de la ecuación matricial

$A\cdot B\cdot X=A\cdot B+I$

[2 puntos]

Conviene calcular primero el producto $A\cdot B$, porque aparece en los dos miembros de la ecuación y es el que hay que invertir.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 2& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+3& 0-6\\ 2+1& 0-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -6\\ 3& -2\end{array}\right)$

La matriz $A\cdot B$ se puede invertir, pues su determinante no es nulo.

$\mathrm{\mid }A\cdot B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}4& -6\\ 3& -2\end{array}\mid =-8+18=10\mathrm{\ne }0$

$(A\cdot B{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\cdot B\mathrm{\mid }}}\cdot (\mathrm{Adj}(A\cdot B){)}^t={\displaystyle \frac{1}{10}}\left(\begin{array}{cc}-2& 6\\ -3& 4\end{array}\right)$

Se despeja ahora $X$, multiplicando por la izquierda por esa inversa.

$A\cdot B\cdot X=A\cdot B+I\Rightarrow X=(A\cdot B{)}^{-1}\cdot (A\cdot B+I)=I+(A\cdot B{)}^{-1}$

$X=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{1}{10}}\left(\begin{array}{cc}-2& 6\\ -3& 4\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{10}}\left(\begin{array}{cc}8& 6\\ -3& 14\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$A\cdot B\cdot X=\left(\begin{array}{cc}4& -6\\ 3& -2\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{10}}\left(\begin{array}{cc}8& 6\\ -3& 14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& -6\\ 3& -1\end{array}\right)=A\cdot B+I$

La matriz solución de la ecuación es $X={\displaystyle \frac{1}{10}}\left(\begin{array}{cc}8& 6\\ -3& 14\end{array}\right)$.