Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& x& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 4\\ 5& -6\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\\ 3& 0\end{array}\right)$, se pide, justificando las respuestas:

a) Determine para qué valores de $x$ no existe la inversa de $A$. [0,5 puntos]

b) Para $x=2$, resuelva la ecuación matricial $A\cdot X-B=C$. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una matriz cuadrada no tiene inversa exactamente cuando su determinante se anula. Como la primera fila solo tiene un elemento no nulo, conviene desarrollar por ella.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& x& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}x& -1\\ -1& 1\end{array}\mid =x-1$

$x-1=0\Rightarrow x=1$

La matriz $A$ no tiene inversa únicamente para $x=1$.



Se despeja la incógnita. Como está multiplicada por la izquierda por $A$, se multiplica por la izquierda por la inversa de $A$, que existe porque $x=2\mathrm{\ne }1$.

$A\cdot X-B=C\Rightarrow A\cdot X=B+C\Rightarrow X=A^{-1}\cdot (B+C)$

$B+C=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -3& 4\\ 5& -6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\\ 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& 5\\ 8& -6\end{array}\right)$

Para $x=2$ el determinante vale $2-1=1\mathrm{\ne }0$. Calculamos la inversa por el método de los adjuntos.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\cdot (\mathrm{Adj}(A){)}^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& 5\\ 8& -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -1+8& 5-6\\ -1+16& 5-12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 7& -1\\ 15& -7\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado: $A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -1& 5\\ 8& -6\end{array}\right)$, que es efectivamente $B+C$.

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 7& -1\\ 15& -7\end{array}\right)$.