Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\\ -1& 4\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 3& -2\end{array}\right)$.

Halle la matriz $X$ que sea solución de la ecuación matricial $A\cdot X-B^t=2C$, donde $B^t$ es la matriz traspuesta de $B$. Justifique la respuesta. [2 puntos]

Se despeja la matriz $X$ de la ecuación matricial. Como está multiplicada por la izquierda por $A$, hay que multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$.

$A\cdot X-B^t=2C\Rightarrow A\cdot X=2C+B^t$

$B^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 3& 4\end{array}\right)2C=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 0\\ 0& 6& -4\end{array}\right)$

$2C+B^t=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 0\\ 0& 6& -4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& -1\\ 2& 9& 0\end{array}\right)$

La matriz $A$ se puede invertir, pues su determinante no es nulo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\mid =2-1=1\mathrm{\ne }0$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}\cdot (\mathrm{Adj}(A){)}^t=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$

Se multiplica por la izquierda, que es el lado por el que aparece $A$ en la ecuación.

$X=A^{-1}\cdot (2C+B^t)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}3& -2& -1\\ 2& 9& 0\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}3-2& -2-9& -1-0\\ -3+4& 2+18& 1+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& -11& -1\\ 1& 20& 1\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado: $A\cdot X=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& -1\\ 2& 9& 0\end{array}\right)$, que es efectivamente $2C+B^t$.

La matriz solución de la ecuación es $X=\left(\begin{array}{ccc}1& -11& -1\\ 1& 20& 1\end{array}\right)$.