Ejercicio resuelto de Constante de equilibrio Kp · Química · 2021

En un recipiente industrial de 123 litros se introducen 4,2 moles de selenio y 4,5 moles de hidrógeno [dihidrógeno], se calienta la mezcla hasta los 1000 K, estableciéndose en esas condiciones un equilibrio cuya $K_p$ tiene un valor de 5,0:

$\text{Se}(g) + \text{H}_2(g) \rightleftharpoons \text{H}_2\text{Se}(g)$

Calcule:

a) El valor de la constante de concentraciones ($K_c$). (0,4 puntos)

b) Las concentraciones molares de cada una de las especies en el equilibrio. (0,8 puntos)

c) Las presiones parciales de cada uno de los gases y la presión total en el equilibrio. (0,8 puntos)

Datos: $R = 0{,}082\ \text{atm}\cdot\text{L}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}$. Masas atómicas: $\text{Se} = 79\ \text{u}$; $\text{H} = 1\ \text{u}$.

$\textbf{a) El valor de la constante de concentraciones (Kc). (0,4 puntos)}$

Las dos constantes se relacionan a través de la variación del número de moles de gas:

$\Delta n = 1 - (1 + 1) = -1$

$K_p = K_c\,(R\,T)^{\Delta n} \quad \Rightarrow \quad K_c = K_p\,(R\,T)^{+1}$

Con la temperatura del enunciado, ya en kelvin:

$R\,T = 0{,}082 \cdot 1000 = 82$

$K_c = 5{,}0 \cdot 82 = 410$

Sale mayor que $K_p$, como corresponde a una reacción en la que disminuye el número de moles de gas.

$\textbf{b) Las concentraciones molares de cada una de las especies en el equilibrio. (0,8 puntos)}$

Llamando $x$ a los moles de selenio que reaccionan, y siendo la estequiometría 1 a 1 a 1:

$$	$\mathrm{Se}$	$\mathrm{H_2}$	$\mathrm{H_2Se}$ Inicial (mol)	4,2	4,5	0 Equilibrio (mol)	$4{,}2 - x$	$4{,}5 - x$	$x$

Dividiendo entre el volumen, $V = 123$ L, y sustituyendo en la constante:

$K_c = \frac{[\mathrm{H_2Se}]}{[\mathrm{Se}][\mathrm{H_2}]} = \frac{x/123}{\dfrac{(4{,}2-x)}{123}\cdot\dfrac{(4{,}5-x)}{123}} = \frac{123\,x}{(4{,}2-x)(4{,}5-x)} = 410$

$123\,x = 410\,(18{,}9 - 8{,}7x + x^2)$

$410\,x^2 - 3690\,x + 7749 = 0$

$x = \frac{3690 - \sqrt{3690^2 - 4 \cdot 410 \cdot 7749}}{2 \cdot 410} = \frac{3690 - 952{,}7}{820}$

$x = 3{,}34 \text{ mol}$

Se descarta la otra raíz, $x = 5{,}66$, porque supera los 4,2 mol de selenio disponibles y no tiene sentido físico. Las concentraciones en el equilibrio son:

$[\mathrm{Se}] = \frac{4{,}2 - 3{,}34}{123} = 7{,}01 \cdot 10^{-3} \ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}$

$[\mathrm{H_2}] = \frac{4{,}5 - 3{,}34}{123} = 9{,}45 \cdot 10^{-3} \ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}$

$[\mathrm{H_2Se}] = \frac{3{,}34}{123} = 2{,}71 \cdot 10^{-2} \ \mathrm{mol}\cdot\mathrm{L}^{-1}$

$\textbf{c) Las presiones parciales de cada uno de los gases y la presión total en el equilibrio. (0,8 puntos)}$

La presión parcial de cada gas se obtiene de su concentración con la ecuación de los gases ideales, $p_i = c_i\,R\,T$, con $R\,T = 82$:

$p(\mathrm{Se}) = 7{,}01 \cdot 10^{-3} \cdot 82 = 0{,}575 \text{ atm}$

$p(\mathrm{H_2}) = 9{,}45 \cdot 10^{-3} \cdot 82 = 0{,}775 \text{ atm}$

$p(\mathrm{H_2Se}) = 2{,}71 \cdot 10^{-2} \cdot 82 = 2{,}225 \text{ atm}$

Por la ley de Dalton, la presión total es la suma de las parciales:

$P_t = 0{,}575 + 0{,}775 + 2{,}225 = 3{,}57 \text{ atm}$

Comprobación con la constante de partida:

$K_p = \frac{p(\mathrm{H_2Se})}{p(\mathrm{Se})\,p(\mathrm{H_2})} = \frac{2{,}225}{0{,}575 \cdot 0{,}775} = 5{,}0$

que es el valor del enunciado.