Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Canarias · 2021

Un objeto es proyectado, por una lente delgada, sobre una pantalla situada a $3\text{ m}$ de la lente. La imagen del objeto resulta ser 4 veces mayor que el objeto.

a) ¿De qué tipo de lente se trata? Dar las características de la imagen.

b) Calcule las distancias objeto e imagen y la potencia de la lente.

c) Construya el diagrama de rayos asociado a esta situación.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿De}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{trata?}}\mathbf{\text{Dar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{caracter}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sticas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}$

La imagen se proyecta sobre una pantalla, luego se forma con los propios rayos y es real. Solo una lente convergente puede dar imágenes reales, y las da siempre invertidas.



Se trata, por tanto, de una lente convergente que produce una imagen real, invertida y cuatro veces mayor que el objeto, lo que exige que el objeto esté situado entre el foco objeto y el doble de la distancia focal.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{distancias}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}$

La imagen está sobre la pantalla, a $3\text{ m}$ de la lente, de modo que $s^{\mathrm{\prime }}=3\text{ m}$. Como es invertida y cuatro veces mayor:

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=-4\Rightarrow s={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{-4}}={\displaystyle \frac{3}{-4}}=-\mathrm{0,75}\text{ m}$

El objeto está a $75\text{ cm}$ de la lente.

Aplicando la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{0,75}}}=\mathrm{0,333}+\mathrm{1,333}=\mathrm{1,67}{\text{m}}^{-1}$

$f^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,60}\text{ m}P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}=\mathrm{1,67}\text{ D}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Construya}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{diagrama}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{asociado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

El diagrama es el de la figura del primer apartado. Se traza con los rayos notables que salen del extremo del objeto: el que llega paralelo al eje óptico emerge por el foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$, el que pasa por el centro óptico no se desvía y el que pasa por el foco objeto $F$ emerge paralelo al eje. Los tres se cortan en el extremo de la imagen, por debajo del eje óptico, sobre la pantalla.

Se comprueba además la coherencia del resultado: el objeto está a $75\text{ cm}$, entre $f^{\mathrm{\prime }}=60\text{ cm}$ y $2f^{\mathrm{\prime }}=120\text{ cm}$, que es justamente el intervalo que da imágenes reales, invertidas y mayores.