Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Canarias · 2020

Un objeto de $5\text{ cm}$ de altura se coloca a $\mathrm{0,5}\text{ m}$ de una lente delgada produciendo una imagen derecha de $15\text{ cm}$ de alto:

a) Calcule a qué distancia de la lente se forma la imagen del objeto así como la distancia focal de la lente. ¿La imagen es real o virtual?

b) Indique el tipo de lente, calcule la potencia de la lente y realice el trazado de rayos.

c) Calcule la posición a la que debe situarse el objeto respecto de la lente para que su imagen se forme en el infinito. Realice el trazado de rayos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{¿La}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{real}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{virtual?}}$

La imagen es derecha, de modo que el aumento lateral es positivo:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{15}{5}}=3$

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=3s=3\cdot (-\mathrm{0,5})=-\mathrm{1,5}\text{ m}$

La imagen se forma a $\mathrm{1,5}\text{ m}$ de la lente, del mismo lado que el objeto. Al ser $s^{\mathrm{\prime }}<0$ la imagen es virtual: se obtiene con las prolongaciones de los rayos y no puede recogerse sobre una pantalla.

Aplicando la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{1,5}}}-{\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{0,5}}}=-\mathrm{0,667}+2=\mathrm{1,33}{\text{m}}^{-1}$

$f^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,75}\text{ m}=75\text{ cm}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lente,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{realice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos.}}$

La distancia focal imagen es positiva, luego la lente es convergente.

$P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,75}}}=\mathrm{1,33}\text{ D}$



El objeto está a $50\text{ cm}$, más cerca de la lente que el foco objeto, que está a $75\text{ cm}$: esa es la disposición de la lupa, y por eso la imagen sale virtual, derecha y mayor.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{situarse}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forme}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{infinito.}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos.}}$

Que la imagen se forme en el infinito significa hacer $s^{\mathrm{\prime }}\to \mathrm{\infty }$, es decir, ${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}\to 0$:

$0-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow s=-f^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{0,75}\text{ m}$

Hay que colocar el objeto exactamente en el foco objeto, a $75\text{ cm}$ de la lente. Los rayos que salen de un punto del objeto emergen entonces paralelos entre sí y no vuelven a cortarse a distancia finita.