Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Extremadura · 2024

Con una lente delgada biconvexa de 3 dioptrías se forma una imagen real, invertida y de tamaño doble que el objeto correspondiente, que es de 2 cm de altura.

a) Dibuja el diagrama de rayos correspondiente y calcula la distancia a la que está el objeto y la distancia a la que se forma la imagen. [1 punto]

b) Si el objeto se coloca ahora a 10 cm de la lente, justifica mediante el diagrama de rayos correspondiente cuáles serán las características de la imagen formada y calcula su tamaño y su posición. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibuja}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{diagrama}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



La distancia focal imagen es la inversa de la potencia de la lente:

$f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{P}}={\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,333}\text{ m}=\mathrm{33,3}\text{ cm}$

Que la imagen sea real e invertida quiere decir que el aumento lateral es negativo, y que sea de tamaño doble, que su valor absoluto es 2:

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=-2\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=-2s$

Se lleva esta condición a la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

${\displaystyle \frac{1}{-2s}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{33,3}}}$

$-{\displaystyle \frac{3}{2s}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{33,3}}}\Rightarrow s=-{\displaystyle \frac{3\cdot \mathrm{33,3}}{2}}=-50\text{ cm}$

Y con ello:

$s^{\mathrm{\prime }}=-2\cdot (-50)=100\text{ cm}$

El objeto está a $50\text{ cm}$ delante de la lente y la imagen se forma a $100\text{ cm}$ detrás de ella. Como se ve en el diagrama, el objeto se encuentra fuera de la distancia focal, que es lo que hace que la imagen sea real e invertida.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{coloca}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente,}}\mathbf{\text{justifica}}\mathbf{\text{mediante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{diagrama}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{caracter}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sticas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{formada}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$



Ahora el objeto está a $s=-10\text{ cm}$, es decir, entre el foco objeto y la lente. En el diagrama se ve que los rayos emergentes son divergentes y no llegan a cortarse: quienes se cortan son sus prolongaciones, con lo que la imagen es virtual, derecha y mayor.

Se calcula su posición con la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{33,3}}}+{\displaystyle \frac{1}{-10}}$

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}=\mathrm{0,03}-\mathrm{0,1}=-\mathrm{0,07}{\text{cm}}^{-1}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-\mathrm{14,3}\text{ cm}$

El aumento lateral vale:

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{14,3}}{-10}}=\mathrm{1,43}$

Y el tamaño de la imagen:

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=\mathrm{1,43}\cdot 2=\mathrm{2,86}\text{ cm}$

La imagen es virtual, derecha y mayor que el objeto: se forma a $\mathrm{14,3}\text{ cm}$ delante de la lente, del mismo lado que el objeto, y mide $\mathrm{2,86}\text{ cm}$. La lente está funcionando como una lupa.