Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Canarias · 2021

Un recipiente contiene agua y aceite. Calcule:



a) El ángulo de refracción de un rayo de luz que, procedente del fondo del recipiente, incide en la capa de aceite con un ángulo de ${40}^{\circ }$.

b) El ángulo de incidencia de un rayo de luz para que, incidiendo desde el aceite hacia el agua, se produzca la reflexión total.

c) Las frecuencias del haz de luz en el agua y en el aceite, si su longitud de onda es de $450\text{ nm}$.

Datos: $n_{\text{agua}}=\mathrm{1,33}$; $n_{\text{aceite}}=\mathrm{1,45}$; $1\text{ nm}={10}^{-9}\text{ m}$; $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{procedente}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{fondo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recipiente,}}\mathbf{\text{incide}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{capa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aceite}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">40</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\circ </mo></msup>}\mathbf{\text{.}}$










El rayo viaja por el agua y llega a la superficie que la separa del aceite. Se aplica la ley de Snell:

$n_{\text{agua}}\text{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=n_{\text{aceite}}\text{sen}\widehat{r}$





$\text{sen}\widehat{r}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,33}\cdot \text{sen}{40}^{\circ }}{\mathrm{1,45}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,33}\cdot \mathrm{0,643}}{\mathrm{1,45}}}=\mathrm{0,590}$

$\widehat{r}=\arcsin (\mathrm{0,590})={\mathrm{36,1}}^{\circ }$

El rayo se acerca a la normal, como corresponde al pasar a un medio más refringente.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{incidencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{incidiendo}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aceite}}\mathbf{\text{hacia}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produzca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{reflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total.}}$

Ahora la luz va del medio más refringente al menos refringente, de modo que el rayo se aleja de la normal y puede producirse reflexión total. El ángulo límite es aquel para el que el ángulo de refracción vale ${90}^{\circ }$:

$n_{\text{aceite}}\text{sen}\widehat{L}=n_{\text{agua}}\text{sen}{90}^{\circ }$

$\text{sen}\widehat{L}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,33}}{\mathrm{1,45}}}=\mathrm{0,917}\Rightarrow \widehat{L}={\mathrm{66,5}}^{\circ }$

Para cualquier ángulo de incidencia mayor que ${\mathrm{66,5}}^{\circ }$ no hay rayo refractado y toda la luz vuelve al aceite.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{frecuencias}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{haz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aceite,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">450</mn><mtext> nm</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

La frecuencia de una onda la impone el foco emisor y no cambia al pasar de un medio a otro: lo que cambian son la velocidad de propagación y la longitud de onda.

Tomando la longitud de onda dada en el agua, la velocidad de la luz en ese medio es:

$v_{\text{agua}}={\displaystyle \frac{c}{n_{\text{agua}}}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,33}}}=\mathrm{2,26}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$f={\displaystyle \frac{v_{\text{agua}}}{{\lambda }_{\text{agua}}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,26}\cdot {10}^8}{450\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{5,01}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

Y en el aceite la frecuencia es exactamente la misma:

$f_{\text{aceite}}=f_{\text{agua}}=\mathrm{5,01}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

Lo que sí cambia es la longitud de onda, que en el aceite vale $\lambda ={\displaystyle \frac{c}{n_{\text{aceite}}f}}=413\text{ nm}$.