Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2021

Un electrón penetra perpendicularmente (en el sentido positivo del eje $OY$) en una región donde existe un campo magnético uniforme de valor ${10}^{-2}\text{ T}$ (en el sentido positivo del eje $OX$). Sabiendo que el electrón describe una trayectoria circular de $12\text{ cm}$ de radio, calcule:

a) La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el electrón e indique su dirección y sentido.

b) La energía cinética del electrón en eV.

c) El número de vueltas que da el electrón en ${10}^{-3}\text{ s}$.

Datos: $q_e=-\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $m_e=\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; $1\text{ eV}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ejerce}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sentido.}}$










La velocidad es perpendicular al campo, así que la fuerza magnética hace de fuerza centrípeta:

$\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }vB={\displaystyle \frac{m_e{v}^2}{r}}\Rightarrow v={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }Br}{m_e}}$

De aquí se obtiene primero la velocidad, que el enunciado no da.





$v={\displaystyle \frac{\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}\cdot {10}^{-2}\cdot \mathrm{0,12}}{\mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}}=\mathrm{2,11}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$F=\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }vB=\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}\cdot \mathrm{2,11}\cdot {10}^8\cdot {10}^{-2}=\mathrm{3,38}\cdot {10}^{-13}\text{ N}$

En cuanto a la dirección y el sentido, la velocidad va según $+\vec{\mathrm{ȷ}}$ y el campo según $+\vec{\mathrm{ı}}$, de modo que $\vec{v}\times \vec{B}=-vB\vec{k}$. Como la carga del electrón es negativa, la fuerza sale en sentido contrario:

$\vec{F}=q_e(\vec{v}\times \vec{B})=+\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }vB\vec{k}$

La fuerza tiene la dirección del eje $Z$ y sentido positivo, y en cada instante apunta hacia el centro de la circunferencia.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{eV.}}$

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}\cdot (\mathrm{2,11}\cdot {10}^8{)}^2=\mathrm{2,03}\cdot {10}^{-14}\text{ J}$

$E_c={\displaystyle \frac{\mathrm{2,03}\cdot {10}^{-14}}{\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}}}=\mathrm{1,27}\cdot {10}^5\text{ eV}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vueltas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathrm{<mrow><msup><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mrow><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn></mrow></msup><mtext> s</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

El periodo del movimiento circular es:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi m_e}{\mathrm{\mid }{q}_e\mathrm{\mid }B}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{9,1}\cdot {10}^{-31}}{\mathrm{1,60}\cdot {10}^{-19}\cdot {10}^{-2}}}=\mathrm{3,57}\cdot {10}^{-9}\text{ s}$

$n={\displaystyle \frac{t}{T}}={\displaystyle \frac{{10}^{-3}}{\mathrm{3,57}\cdot {10}^{-9}}}=\mathrm{2,80}\cdot {10}^5\text{ vueltas}$

En un milisegundo el electrón da unas $280000$ vueltas. Obsérvese que en la expresión del periodo se simplifica la velocidad: el tiempo de una vuelta no depende de lo rápido que vaya la partícula.