Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2022

Dos cargas puntuales de $4\cdot {10}^{-6}\text{ C}$ están situadas en los puntos $A(2,0)$ y $B(-2,0)$ de un sistema cartesiano. Sabiendo que las coordenadas están expresadas en metros, calcule:

a) El potencial electrostático en el punto $C(0,2)$.

b) El vector intensidad de campo eléctrico en el punto $C(0,2)$.

c) El trabajo realizado por el campo para llevar una carga puntual de $2\text{ C}$ desde el punto $C(0,2)$ al punto $D(2,2)$.

Dato: $K=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$.

El potencial es una magnitud escalar y se suman los creados por cada carga:

$V=K{\displaystyle \frac{q}{r}}$

Por simetría, las dos cargas están a la misma distancia de $C(0,2)$:

$r=\mathrm{\mid }(2,-2)\mathrm{\mid }=\sqrt{8}=2\sqrt{2}=\mathrm{2,83}\text{ m}$





$V_C=2\cdot 9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{4\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{2,83}}}=\mathrm{2,55}\cdot {10}^4\text{ V}$



El módulo del campo creado por cada carga es el mismo, porque las cargas y las distancias son iguales:

$E=K{\displaystyle \frac{q}{r^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{4\cdot {10}^{-6}}{8}}=\mathrm{4,5}\cdot {10}^3\text{ N/C}$

Las dos cargas son positivas, así que sus campos se alejan de ellas: el de $A(2,0)$ según el unitario $\frac{1}{2\sqrt{2}}(-2,2)$ y el de $B(-2,0)$ según $\frac{1}{2\sqrt{2}}(2,2)$.

Al sumarlos, las componentes horizontales se cancelan por simetría y solo queda la vertical:

${\vec{E}}_C=(0,2\cdot \mathrm{4,5}\cdot {10}^3\cdot {\displaystyle \frac{2}{2\sqrt{2}}})=(0,\mathrm{6,36}\cdot {10}^3)\text{ N/C}$

El campo en $C$ está dirigido según el eje $Y$ positivo y su módulo es $\mathrm{6,36}\cdot {10}^3\text{ N/C}$.



El campo electrostático es conservativo, de modo que el trabajo solo depende de los potenciales inicial y final:

$W_{C\to D}=q(V_C-V_D)$

Las distancias desde $D(2,2)$ a las cargas son:

$r_{AD}=\mathrm{\mid }(0,-2)\mathrm{\mid }=2\text{ m}{r}_{BD}=\mathrm{\mid }(-4,-2)\mathrm{\mid }=\sqrt{20}=\mathrm{4,47}\text{ m}$

$V_D=9\cdot {10}^9\cdot 4\cdot {10}^{-6}({\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{4,47}}})=\mathrm{2,60}\cdot {10}^4\text{ V}$

$W_{C\to D}=2\cdot (\mathrm{2,55}\cdot {10}^4-\mathrm{2,60}\cdot {10}^4)=-\mathrm{1,19}\cdot {10}^3\text{ J}$

El trabajo del campo es negativo porque la carga positiva se desplaza hacia un punto de mayor potencial: hay que empujarla, y son fuerzas externas las que realizan un trabajo de $+\mathrm{1,19}\cdot {10}^3\text{ J}$.