Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2021

Dos cargas eléctricas puntuales de $4\mu \text{C}$ y $-2\mu \text{C}$ se encuentran situadas en los puntos $(1,0)$ y $(0,2)$, respectivamente, donde las coordenadas $x$ e $y$ de dichos puntos vienen dadas en metros. Calcule:

a) El potencial eléctrico en el punto $(2,1)$.

b) El vector intensidad de campo electrostático en el punto $(0,0)$.

c) El trabajo necesario para llevar una carga de $-1\text{ C}$ desde el punto $(0,0)$ al $(2,1)$. Explique el significado del signo del trabajo.

Dato: $K=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$










El potencial es escalar y se suman los de las dos cargas con su signo:

$V=K\sum {\displaystyle \frac{q_i}{r_i}}$

Las distancias desde $P(2,1)$ son:

$r_1=\mathrm{\mid }(1,1)\mathrm{\mid }=\sqrt{2}=\mathrm{1,41}\text{ m}$

$r_2=\mathrm{\mid }(2,-1)\mathrm{\mid }=\sqrt{5}=\mathrm{2,24}\text{ m}$





$V_P=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{4\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{1,41}}}-{\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{2,24}}})=\mathrm{1,74}\cdot {10}^4\text{ V}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{electrost}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

Las distancias desde el origen son $1\text{ m}$ a la carga positiva y $2\text{ m}$ a la negativa.

La carga de $(1,0)$ es positiva, de modo que su campo se aleja de ella, en el sentido negativo del eje $X$:

$E_1=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{4\cdot {10}^{-6}}{1^2}}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^4\text{ N/C}$

La carga de $(0,2)$ es negativa, de modo que su campo apunta hacia ella, en el sentido positivo del eje $Y$:

$E_2=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}}{2^2}}=\mathrm{4,5}\cdot {10}^3\text{ N/C}$

Por el principio de superposición:

${\vec{E}}_O=(-\mathrm{3,6}\cdot {10}^4,\mathrm{4,5}\cdot {10}^3)\text{ N/C}$

$\mathrm{\mid }{\vec{E}}_O\mathrm{\mid }=\sqrt{(\mathrm{3,6}\cdot {10}^4{)}^2+(\mathrm{4,5}\cdot {10}^3{)}^2}=\mathrm{3,63}\cdot {10}^4\text{ N/C}$



Hace falta el potencial en el origen:

$V_O=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{4\cdot {10}^{-6}}{1}}-{\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}}{2}})=\mathrm{2,70}\cdot {10}^4\text{ V}$

Como el campo electrostático es conservativo:

$W_{\text{campo}}=q(V_O-V_P)=-1\cdot (\mathrm{2,70}\cdot {10}^4-\mathrm{1,74}\cdot {10}^4)$

$W_{\text{campo}}=-\mathrm{9,59}\cdot {10}^3\text{ J}$

El signo negativo significa que el campo se opone al desplazamiento: una carga negativa tiende espontáneamente hacia los puntos de mayor potencial, y aquí se la lleva hacia uno de menor potencial. Por tanto, el trabajo necesario, el que debe realizar un agente externo, es el mismo con el signo cambiado:

$W_{\text{ext}}=+\mathrm{9,59}\cdot {10}^3\text{ J}$