Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2023

Considere la siguiente reacción nuclear: ${}_1^2\text{H}+{}_1^3\text{H}\to {}_2^4\text{He}+{}_0^1\text{n}$. Determine:

a) El valor de la energía liberada. ¿Qué tipo de reacción nuclear es?

b) La longitud de onda de De Broglie asociada al neutrón si se mueve a $200\text{ m/s}$.

c) El neutrón es acelerado hasta que alcanza una velocidad de $\mathrm{0,6}c$. ¿Cuánto ha variado su masa?

Datos: $m({}^2\text{H})=\mathrm{2,01410}\text{ u}$; $m({}^3\text{H})=\mathrm{3,01605}\text{ u}$; $m({}^4\text{He})=\mathrm{4,00260}\text{ u}$; $m({}^1\text{n})=\mathrm{1,00866}\text{ u}$; $1\text{ u}=\mathrm{1,66054}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$; $h=\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}\text{ J}\text{s}$; $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{liberada.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{reacci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{nuclear}}\mathbf{\text{es?}}$

La energía liberada procede de la diferencia de masa entre los reactivos y los productos, según la equivalencia masa-energía de Einstein:

$\mathrm{\Delta }m=\sum m_{\text{reactivos}}-\sum m_{\text{productos}}$

$\mathrm{\Delta }m=(\mathrm{2,01410}+\mathrm{3,01605})-(\mathrm{4,00260}+\mathrm{1,00866})=\mathrm{1,889}\cdot {10}^{-2}\text{ u}$

Se expresa en kilogramos:

$\mathrm{\Delta }m=\mathrm{1,889}\cdot {10}^{-2}\cdot \mathrm{1,66054}\cdot {10}^{-27}=\mathrm{3,14}\cdot {10}^{-29}\text{ kg}$

$E=\mathrm{\Delta }m{c}^2=\mathrm{3,14}\cdot {10}^{-29}\cdot (3\cdot {10}^8{)}^2=\mathrm{2,82}\cdot {10}^{-12}\text{ J}$

que, tomando $1\text{ eV}=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ J}$, equivale a $\mathrm{17,6}\text{ MeV}$.

Como la masa de los productos es menor que la de los reactivos, la reacción libera energía. Se trata de una reacción de fusión nuclear: dos núcleos ligeros, el deuterio y el tritio, se unen para dar uno más pesado, el helio-4, más un neutrón. Es la reacción que alimenta a las estrellas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{De}}\mathbf{\text{Broglie}}\mathbf{\text{asociada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{neutr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">200</mn><mtext> m/s</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

La masa del neutrón en unidades del Sistema Internacional es:

$m_n=\mathrm{1,00866}\cdot \mathrm{1,66054}\cdot {10}^{-27}=\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$

Y aplicando la hipótesis de De Broglie:

$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{m_{n}v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,626}\cdot {10}^{-34}}{\mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}\cdot 200}}=\mathrm{1,98}\cdot {10}^{-9}\text{ m}$



A esa velocidad hay que usar la mecánica relativista. El factor de Lorentz vale:

$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{0,6}}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,8}}}=\mathrm{1,25}$

La masa relativista es:

$m=\gamma m_n=\mathrm{1,25}\cdot \mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}=\mathrm{2,09}\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$

Y la variación pedida:

$\mathrm{\Delta }m=m-m_n=(\gamma -1)m_n=\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{1,67}\cdot {10}^{-27}=\mathrm{4,19}\cdot {10}^{-28}\text{ kg}$

La masa del neutrón aumenta un $25\mathrm{\%}$ al moverse al $60\mathrm{\%}$ de la velocidad de la luz.