Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

Una carga puntual $q_1=1\text{ C}$ se coloca en el punto $A(0,3)$ de un sistema de ejes cartesianos. Otra carga $q_2=-1\text{ C}$ se sitúa en el punto $B(0,-3)$. Si las coordenadas están expresadas en metros:

a) Dibuje las líneas de campo eléctrico de esta distribución de cargas. Calcule además el vector intensidad de campo eléctrico en el punto $C(4,0)$.

b) Calcule el valor de los potenciales electrostáticos en los puntos $C(4,0)$ y $D(-3,8)$.

c) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico para traer una carga puntual de $2\text{ C}$ desde el infinito hasta el punto $D$.

Datos: $K=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$.

Dos cargas iguales y de signo contrario forman un dipolo eléctrico. Las líneas de campo salen de la carga positiva y entran en la negativa, y son tanto más densas cuanto mayor es el campo:



Para el campo en $C$ se aplica el principio de superposición, sumando vectorialmente el creado por cada carga:

$\vec{E}=K{\displaystyle \frac{q}{r^2}}{\vec{u}}_r$










Las distancias son iguales por simetría:

$r_{AC}=\mathrm{\mid }(4,-3)\mathrm{\mid }=5\text{ m}$

$r_{BC}=\mathrm{\mid }(4,3)\mathrm{\mid }=5\text{ m}$

y también lo son los módulos:

$E=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{1}{5^2}}=\mathrm{3,6}\cdot {10}^8\text{ N/C}$





La carga de $A$ es positiva, así que su campo se aleja de ella, según el unitario $\frac{1}{5}(4,-3)$:

${\vec{E}}_A=\mathrm{3,6}\cdot {10}^8\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}(4,-3)=(\mathrm{2,88}\cdot {10}^8,-\mathrm{2,16}\cdot {10}^8)\text{ N/C}$

La de $B$ es negativa, de modo que su campo apunta hacia ella, según el unitario $\frac{1}{5}(-4,-3)$:

${\vec{E}}_B=\mathrm{3,6}\cdot {10}^8\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}(-4,-3)=(-\mathrm{2,88}\cdot {10}^8,-\mathrm{2,16}\cdot {10}^8)\text{ N/C}$

Sumando, las componentes horizontales se cancelan y solo queda la vertical:

${\vec{E}}_C={\vec{E}}_A+{\vec{E}}_B=(0,-\mathrm{4,32}\cdot {10}^8)\text{ N/C}$

El campo en $C$ es paralelo al eje $Y$, apunta en sentido negativo y su módulo es $\mathrm{4,32}\cdot {10}^8\text{ N/C}$.



El potencial es escalar y se suman los de las dos cargas, $V=K\sum {\displaystyle \frac{q_i}{r_i}}$.

En $C(4,0)$ las dos distancias valen $5\text{ m}$ y las cargas son opuestas:

$V_C=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{-1}{5}})=0\text{ V}$

Todo el plano mediador del dipolo, es decir, el eje $X$ en este caso, es una superficie equipotencial de potencial nulo.

En $D(-3,8)$ las distancias son distintas:

$r_{AD}=\mathrm{\mid }(-3,5)\mathrm{\mid }=\sqrt{34}=\mathrm{5,83}\text{ m}$

$r_{BD}=\mathrm{\mid }(-3,11)\mathrm{\mid }=\sqrt{130}=\mathrm{11,40}\text{ m}$

$V_D=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{5,83}}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{11,40}}})=\mathrm{7,54}\cdot {10}^8\text{ V}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{realizado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{traer}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{puntual}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mtext>C</mtext></mrow>}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{infinito}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{D}\mathbf{\text{.}}$

El campo electrostático es conservativo y el trabajo que realiza es la diferencia de energía potencial entre los puntos inicial y final:

$W_{\mathrm{\infty }\to D}=q(V_{\mathrm{\infty }}-V_D)$

En el infinito el potencial es nulo, de modo que:

$W_{\mathrm{\infty }\to D}=2\cdot (0-\mathrm{7,54}\cdot {10}^8)=-\mathrm{1,51}\cdot {10}^9\text{ J}$

El trabajo del campo es negativo: para traer la carga positiva hasta $D$, que está a potencial positivo, hay que empujarla, y son fuerzas externas las que realizan un trabajo de $+\mathrm{1,51}\cdot {10}^9\text{ J}$.