Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Un centro de estudios utiliza tres servidores para conectarse a Internet. El 40 % de los accesos a la red se realiza a través del servidor uno, el 35 % a través del servidor dos y el resto a través del tres. El 4 % de los accesos a la red que utilizan el servidor 1 resultan bloqueados. También se bloquean el 6 % de los accesos que se producen a través del servidor 2 y el 9 % de los que usan el servidor 3.

a) Dibuja el diagrama en árbol para describir esta situación.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un acceso a internet no resulte bloqueado?

c) Si un acceso a Internet resulta bloqueado, ¿cuál es la probabilidad de que el bloqueo haya ocurrido en el servidor 2?

$\textbf{a) Dibuja el diagrama en árbol para describir esta situación.}$

Nombramos los sucesos:

$S_1\equiv$ el acceso se hace por el servidor uno,
$S_2\equiv$ el acceso se hace por el servidor dos,
$S_3\equiv$ el acceso se hace por el servidor tres,
$B\equiv$ el acceso resulta bloqueado,
$\overline{B}\equiv$ el acceso no resulta bloqueado.

Los tres servidores forman un sistema completo de sucesos; al tercero le corresponde el resto de los accesos:

$P(S_3)=1-0{,}40-0{,}35=0{,}25$



$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que un acceso a internet no resulte bloqueado?}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(B)=P(S_1)P(B/S_1)+P(S_2)P(B/S_2)+P(S_3)P(B/S_3)$

$P(B)=0{,}40\cdot 0{,}04+0{,}35\cdot 0{,}06+0{,}25\cdot 0{,}09$

$P(B)=0{,}016+0{,}021+0{,}0225=0{,}0595$

El suceso pedido es el contrario.

$P(\overline{B})=1-0{,}0595=0{,}9405$

La probabilidad de que un acceso a internet no resulte bloqueado es $0{,}9405$.

$\textbf{c) Si un acceso a Internet resulta bloqueado, ¿cuál es la probabilidad de que el bloqueo haya ocurrido en el servidor 2?}$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes.

$P(S_2/B)=\dfrac{P(S_2)\cdot P(B/S_2)}{P(B)}=\dfrac{0{,}021}{0{,}0595} =\dfrac{6}{17}\approx 0{,}3529$

Sabiendo que el acceso resultó bloqueado, la probabilidad de que fuera a través del servidor 2 es $\dfrac{6}{17}\approx 0{,}3529$.