Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En un taller de electricidad de vehículos se reparan coches (45 %), camiones (25 %), guaguas (20 %) y motos (resto). El 10 % de los coches, el 15 % de los camiones, el 9 % de las guaguas y el 12 % de las motos vienen al taller por fallos en el sistema de arranque.

a) Construir un diagrama de árbol que describa lo anterior.

b) Calcular la probabilidad de que se repare en el taller un vehículo que no tenga fallos en el sistema de arranque.

c) Si se ha reparado en el taller un vehículo que presentaba fallos en el sistema de arranque, ¿cuál es la probabilidad de que sea una moto?

$\textbf{a) Construir un diagrama de árbol que describa lo anterior.}$

Nombramos los sucesos:

$C\equiv$ el vehículo es un coche,
$M\equiv$ el vehículo es un camión,
$G\equiv$ el vehículo es una guagua,
$T\equiv$ el vehículo es una moto,
$F\equiv$ el vehículo tiene fallos en el sistema de arranque,
$\overline{F}\equiv$ el vehículo no tiene fallos en el sistema de arranque.

Los cuatro tipos de vehículo forman un sistema completo de sucesos; a las motos les corresponde el resto:

$P(T)=1-0{,}45-0{,}25-0{,}20=0{,}10$



$\textbf{b) Calcular la probabilidad de que se repare en el taller un vehículo que no tenga fallos en el sistema de arranque.}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total para obtener la probabilidad de que un vehículo llegue con fallo de arranque.

$P(F)=P(C)P(F/C)+P(M)P(F/M)+P(G)P(F/G)+P(T)P(F/T)$

$P(F)=0{,}45\cdot 0{,}10+0{,}25\cdot 0{,}15+0{,}20\cdot 0{,}09+0{,}10\cdot 0{,}12$

$P(F)=0{,}045+0{,}0375+0{,}018+0{,}012=0{,}1125$

El suceso pedido es el contrario.

$P(\overline{F})=1-0{,}1125=0{,}8875$

La probabilidad de que el vehículo reparado no tenga fallos en el sistema de arranque es $0{,}8875$.

$\textbf{c) Si se ha reparado en el taller un vehículo que presentaba fallos en el sistema de arranque, ¿cuál es la probabilidad de que sea una moto?}$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes.

$P(T/F)=\dfrac{P(T)\cdot P(F/T)}{P(F)}=\dfrac{0{,}10\cdot 0{,}12}{0{,}1125} =\dfrac{0{,}012}{0{,}1125}$

$P(T/F)=\dfrac{8}{75}\approx 0{,}1067$

Sabiendo que el vehículo tenía fallo de arranque, la probabilidad de que sea una moto es $\dfrac{8}{75}\approx 0{,}1067$.