Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En un molino de gofio se elaboran gofios de trigo, de millo y de cinco cereales. El gofio de trigo supone un 40 % de la producción, el gofio de millo un 32 %, y el resto es de gofio de cinco cereales. A veces, algún paquete presenta un defecto que hace imposible su comercialización. Con el gofio de trigo ocurre en un 1,2 % de los paquetes, con el de millo en un 0,9 % y con el de cinco cereales en un 2,3 %.

a) Elabora el árbol de probabilidades. [0,5 puntos]

b) Si se elige al azar un paquete de gofio, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos? [1 punto]

c) Si presenta algún defecto, ¿cuál es la probabilidad de que el paquete sea de gofio de millo? [1 punto]

$\textbf{a) Elabora el árbol de probabilidades. [0,5 puntos]}$

Nombramos los sucesos:

$T\equiv$ el paquete es de gofio de trigo,
$M\equiv$ el paquete es de gofio de millo,
$C\equiv$ el paquete es de gofio de cinco cereales,
$D\equiv$ el paquete presenta un defecto,
$\overline{D}\equiv$ el paquete no presenta defectos.

Los tres tipos de gofio forman un sistema completo de sucesos. Como el trigo supone el 40 % y el millo el 32 %, al gofio de cinco cereales le corresponde el resto:

$P(C)=1-0{,}40-0{,}32=0{,}28$



$\textbf{b) Si se elige al azar un paquete de gofio, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga defectos? [1 punto]}$

Calculamos primero la probabilidad de que el paquete sea defectuoso mediante el teorema de la probabilidad total.

$P(D)=P(T)\cdot P(D/T)+P(M)\cdot P(D/M)+P(C)\cdot P(D/C)$

$P(D)=0{,}40\cdot 0{,}012+0{,}32\cdot 0{,}009+0{,}28\cdot 0{,}023$

$P(D)=0{,}0048+0{,}00288+0{,}00644=0{,}01412$

El suceso pedido es el contrario.

$P(\overline{D})=1-0{,}01412=0{,}98588$

La probabilidad de que el paquete elegido no tenga defectos es $0{,}98588$.

$\textbf{c) Si presenta algún defecto, ¿cuál es la probabilidad de que el paquete sea de gofio de millo? [1 punto]}$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes.

$P(M/D)=\dfrac{P(M)\cdot P(D/M)}{P(D)}=\dfrac{0{,}32\cdot 0{,}009}{0{,}01412}$

$P(M/D)=\dfrac{0{,}00288}{0{,}01412}=\dfrac{72}{353}\approx 0{,}2040$

Sabiendo que el paquete es defectuoso, la probabilidad de que sea de gofio de millo es $\dfrac{72}{353}\approx 0{,}2040$.