Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Determinados productos envasados de larga duración se transportan cada semana, entre dos ciudades españolas, por carretera (el 42 %), por tren (el 47 %) y por avión (el resto). Por causas diversas, las entregas en destino sufren retraso en el 10 %, el 5 % y el 7 % de los envíos, respectivamente.

a) Dibujar el correspondiente árbol de probabilidades. [0,5 puntos]

b) Hallar la probabilidad de que, en una determinada semana, los envíos se entreguen en destino sin retrasos. [1 punto]

c) Sabiendo que se ha producido retraso en la entrega en destino, ¿cuál es la probabilidad de que el envío se haya realizado por tren? [1 punto]

$\textbf{a) Dibujar el correspondiente árbol de probabilidades. [0,5 puntos]}$

Nombramos los sucesos:

$C\equiv$ el envío se hace por carretera,
$T\equiv$ el envío se hace por tren,
$A\equiv$ el envío se hace por avión,
$R\equiv$ la entrega sufre retraso,
$\overline{R}\equiv$ la entrega se hace sin retraso.

Los tres medios de transporte forman un sistema completo de sucesos. Como carretera y tren se llevan el 42 % y el 47 % de los envíos, al avión le corresponde el resto:

$P(A)=1-0{,}42-0{,}47=0{,}11$



$\textbf{b) Hallar la probabilidad de que, en una determinada semana, los envíos se entreguen en destino sin retrasos. [1 punto]}$

Calculamos primero la probabilidad de retraso aplicando el teorema de la probabilidad total.

$P(R)=P(C)\cdot P(R/C)+P(T)\cdot P(R/T)+P(A)\cdot P(R/A)$

$P(R)=0{,}42\cdot 0{,}10+0{,}47\cdot 0{,}05+0{,}11\cdot 0{,}07$

$P(R)=0{,}042+0{,}0235+0{,}0077=0{,}0732$

El suceso pedido es el contrario.

$P(\overline{R})=1-P(R)=1-0{,}0732=0{,}9268$

La probabilidad de que la entrega se produzca sin retraso es $0{,}9268$.

$\textbf{c) Sabiendo que se ha producido retraso en la entrega en destino, ¿cuál es la probabilidad de que el envío se haya realizado por tren? [1 punto]}$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes.

$P(T/R)=\dfrac{P(T)\cdot P(R/T)}{P(R)} =\dfrac{0{,}47\cdot 0{,}05}{0{,}0732}$

$P(T/R)=\dfrac{0{,}0235}{0{,}0732}=\dfrac{235}{732}\approx 0{,}3210$

Sabiendo que la entrega se ha retrasado, la probabilidad de que el envío se hiciera por tren es $\dfrac{235}{732}\approx 0{,}3210$.