Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

Una cadena de supermercados envasa al vacío tres tipos de queso, en las siguientes proporciones: fresco (45 %), semicurado (30 %) y curado (25 %). Parte del queso que recibe es de importación, concretamente, el 15 % del queso fresco, el 23 % del semicurado y el 40 % del curado.

a) Representar, mediante un árbol de probabilidades, la situación descrita. [0,5 puntos]

b) Se elige al azar un paquete de queso, ¿cuál es la probabilidad de que no sea de importación? [1 punto]

c) Si el queso elegido es de importación, ¿qué probabilidad tiene de ser curado? [1 punto]

$\textbf{a) Representar, mediante un árbol de probabilidades, la situación descrita. [0,5 puntos]}$

Nombramos los sucesos:

$F\equiv$ el paquete es de queso fresco,
$S\equiv$ el paquete es de queso semicurado,
$C\equiv$ el paquete es de queso curado,
$I\equiv$ el queso es de importación,
$\overline{I}\equiv$ el queso no es de importación.

Los tres tipos de queso forman un sistema completo de sucesos, con
$P(F)=0{,}45$, $P(S)=0{,}30$ y $P(C)=0{,}25$, y de cada uno de ellos cuelga la condición de ser o no de importación.



$\textbf{b) Se elige al azar un paquete de queso, ¿cuál es la probabilidad de que no sea de importación? [1 punto]}$

Aplicando el teorema de la probabilidad total calculamos primero la probabilidad de que el queso sea de importación.

$P(I)=P(F)\cdot P(I/F)+P(S)\cdot P(I/S)+P(C)\cdot P(I/C)$

$P(I)=0{,}45\cdot 0{,}15+0{,}30\cdot 0{,}23+0{,}25\cdot 0{,}40$

$P(I)=0{,}0675+0{,}069+0{,}1=0{,}2365$

El suceso pedido es el contrario del anterior.

$P(\overline{I})=1-P(I)=1-0{,}2365=0{,}7635$

La probabilidad de que el paquete elegido no sea de queso de importación es $0{,}7635$.

$\textbf{c) Si el queso elegido es de importación, ¿qué probabilidad tiene de ser curado? [1 punto]}$

Es una probabilidad a posteriori, así que se aplica el teorema de Bayes.

$P(C/I)=\dfrac{P(C)\cdot P(I/C)}{P(I)} =\dfrac{0{,}25\cdot 0{,}40}{0{,}2365}$

$P(C/I)=\dfrac{0{,}1}{0{,}2365}=\dfrac{200}{473}\approx 0{,}4228$

Sabiendo que el queso es de importación, la probabilidad de que sea curado es $\dfrac{200}{473}\approx 0{,}4228$.