Ejercicio resuelto de Constante de equilibrio Kp · Química · 2022

El tolueno ($\mathrm{C_7H_8}$) es un hidrocarburo aromático que se utiliza para la producción de explosivos, como el TNT, colorantes, detergentes y otros productos. El tolueno se puede obtener a partir de la deshidrogenación del metilciclohexano ($\mathrm{C_7H_{14}}$) mediante la reacción química siguiente:

$\mathrm{C_7H_{14}(g)} \rightleftharpoons \mathrm{C_7H_8(g)} + 3\,\mathrm{H_2(g)} \qquad \Delta H > 0$

En un recipiente de 1 litro, inicialmente vacío, se introducen 0,6 moles de metilciclohexano y se calientan a 700 K, de forma que, una vez alcanzado el equilibrio, hay 0,45 moles de dihidrógeno dentro de la mezcla gaseosa.

a) Determine la constante de equilibrio en concentraciones ($K_c$) y la constante de equilibrio en presiones ($K_p$), ambas a 700 K.

b) ¿Qué efecto tendrá sobre la concentración de tolueno presente en la mezcla gaseosa en equilibrio un aumento de la temperatura? Justifique la respuesta.

Datos: $R = 0{,}082\ \mathrm{atm\ L\ mol^{-1}\ K^{-1}}$.

$\textbf{a) Determine la constante de equilibrio en concentraciones (Kc) y la constante de equilibrio en presiones (Kp), ambas a 700 K.}$

El dato del dihidrógeno formado marca el avance de la reacción. Como por cada mol de metilciclohexano que se deshidrogena se forman 3 de $\mathrm{H_2}$:

$x = \dfrac{0{,}45}{3} = 0{,}15\ \mathrm{mol}$

$$	$\mathrm{C_7H_{14}}$	$\mathrm{C_7H_8}$	$\mathrm{H_2}$ Inicial (mol)	0,60	0	0 Cambio (mol)	−0,15	+0,15	+0,45 Equilibrio (mol)	0,45	0,15	0,45

Como el recipiente es de 1 litro, las concentraciones coinciden numéricamente con los moles:

$K_c = \dfrac{[\mathrm{C_7H_8}]\,[\mathrm{H_2}]^3}{[\mathrm{C_7H_{14}}]} = \dfrac{0{,}15 \cdot (0{,}45)^3}{0{,}45}$

$K_c = \dfrac{0{,}15 \cdot 0{,}0911}{0{,}45} = 3{,}04 \cdot 10^{-2}$

Para pasar a $K_p$ se usa la relación entre ambas constantes, con la variación del número de moles de gas:

$\Delta n = (1 + 3) - 1 = +3$

$K_p = K_c\,(R\,T)^{\Delta n}$

Con $R\,T = 0{,}082 \cdot 700 = 57{,}4$:

$K_p = 3{,}04 \cdot 10^{-2} \cdot (57{,}4)^3 = 3{,}04 \cdot 10^{-2} \cdot 1{,}89 \cdot 10^{5}$

$K_p = 5{,}74 \cdot 10^{3}\ \mathrm{atm^3}$

Que $K_p$ salga mucho mayor que $K_c$ es lo esperable con $\Delta n$ positivo y tan grande: la reacción pasa de 1 mol de gas a 4.

$\textbf{b) ¿Qué efecto tendrá sobre la concentración de tolueno presente en la mezcla gaseosa en equilibrio un aumento de la temperatura? Justifique la respuesta.}$

La concentración de tolueno $\textbf{aumentará}$.

El enunciado indica $\Delta H > 0$, de modo que la deshidrogenación es endotérmica y absorbe calor:

$\mathrm{C_7H_{14}(g)} + \text{calor} \rightleftharpoons \mathrm{C_7H_8(g)} + 3\,\mathrm{H_2(g)}$

Según el principio de Le Chatelier, al aumentar la temperatura el sistema se opone al cambio desplazándose en el sentido en que se absorbe calor, es decir, en el sentido endotérmico, que aquí es el directo.

El equilibrio avanza, por tanto, hacia los productos, y con él aumenta el valor de $K_c$: la temperatura es la única variable que modifica el valor de una constante de equilibrio.

Es la razón de que la deshidrogenación industrial del metilciclohexano se lleve a cabo a temperaturas elevadas, del orden de 300-400 °C.