Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2020

Una ventana de 40 cm de anchura y 60 cm de altura se encuentra a 3 m de una pared. Se obtiene la imagen de la ventana enfocada sobre la pared con una lente delgada situada a 30 cm de la pared y 2,7 m de la ventana. Calcule:

a) La distancia focal de la lente usada. [0,75 puntos]

b) La altura de la imagen de la ventana. [0,5 puntos]

c) El área de la imagen de la ventana. [0,75 puntos]

Datos (criterio DIN para lentes delgadas): ${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$; $M_T={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{usada.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Se emplea el criterio DIN: la luz viaja de izquierda a derecha, así que la ventana, que está a la izquierda, tiene distancia negativa, y la pared, donde se recoge la imagen real, positiva:

$s=-\mathrm{2,7}\text{ m}=-270\text{ cm}$

$s^{\mathrm{\prime }}=+30\text{ cm}$





Se aplica la ecuación de Descartes para lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{30}}-{\displaystyle \frac{1}{-270}}$

${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}=\mathrm{3,333}\cdot {10}^{-2}+\mathrm{3,704}\cdot {10}^{-3}=\mathrm{3,704}\cdot {10}^{-2}{\text{cm}}^{-1}$

$f^{\mathrm{\prime }}=27\text{ cm}$

La distancia focal de la lente es de $27\text{ cm}$, y la lente es convergente, como corresponde a la que forma una imagen real sobre una pared.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ventana.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El aumento lateral es:

$M_T={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{30}{-270}}=-\mathrm{0,111}$

El signo negativo indica que la imagen está invertida y el valor absoluto, que es nueve veces menor que el objeto. La altura de la imagen es:

$y^{\mathrm{\prime }}=M_{T}y=-\mathrm{0,111}\cdot 60=-\mathrm{6,67}\text{ cm}$

La imagen de la ventana mide $\mathrm{6,67}\text{ cm}$ de alto y está invertida.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ventana.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La anchura se reduce en la misma proporción que la altura, porque el aumento lateral es el mismo en todas las direcciones perpendiculares al eje:

$x^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{\mid }{M}_T\mathrm{\mid }x=\mathrm{0,111}\cdot 40=\mathrm{4,44}\text{ cm}$

El área es el producto de las dos dimensiones, es decir, el área de la ventana multiplicada por el cuadrado del aumento:

$S^{\mathrm{\prime }}=M_T^{2}S=(\mathrm{0,111}{)}^2\cdot 40\cdot 60$

$S^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{6,67}\cdot \mathrm{4,44}=\mathrm{29,6}{\text{cm}}^2$

La imagen de la ventana ocupa $\mathrm{29,6}{\text{cm}}^2$ de la pared.