Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Canarias · 2024

El ojo humano se asemeja a un sistema óptico formado por una lente convergente (el cristalino) de $15\text{ mm}$ de distancia focal imagen. La imagen de un objeto lejano (en el infinito) se forma sobre la retina, que se considera como una pantalla perpendicular al eje del sistema óptico.

a) Realice un dibujo identificando cada uno de los elementos. ¿Cuál es la distancia entre la retina y el cristalino?

b) Calcule la posición de la imagen de un árbol que está a $25\text{ m}$ del cristalino del ojo.

c) Calcule el tamaño de la imagen de un árbol de $10\text{ m}$ de altura que está a $50\text{ m}$ del ojo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{dibujo}}\mathbf{\text{identificando}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{elementos.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{retina}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cristalino?}}$



El cristalino se comporta como una lente convergente y la retina como la pantalla sobre la que se recoge la imagen.

Para un objeto en el infinito, $s\to -\mathrm{\infty }$, la ecuación de las lentes delgadas da:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-0={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}$

La imagen se forma en el foco imagen, de modo que la distancia entre el cristalino y la retina es la distancia focal imagen:

$s^{\mathrm{\prime }}=f^{\mathrm{\prime }}=15\text{ mm}=\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">25</mn><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cristalino}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{ojo.}}$

Ahora el objeto está a distancia finita, $s=-25\text{ m}$:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,015}}}-{\displaystyle \frac{1}{25}}=\mathrm{66,67}-\mathrm{0,04}=\mathrm{66,63}{\text{m}}^{-1}$

$s^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,5009}\cdot {10}^{-2}\text{ m}=\mathrm{15,01}\text{ mm}$

La imagen se forma prácticamente sobre la retina: a $25\text{ m}$ el objeto está tan lejos comparado con la focal que la diferencia es de una centésima de milímetro.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">10</mn><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">50</mn><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{ojo.}}$

Se repite el cálculo con $s=-50\text{ m}$:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,015}}}-{\displaystyle \frac{1}{50}}=\mathrm{66,65}{\text{m}}^{-1}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{1,5005}\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

El aumento lateral vale:

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5005}\cdot {10}^{-2}}{-50}}=-\mathrm{3,00}\cdot {10}^{-4}$

Y el tamaño de la imagen:

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=-\mathrm{3,00}\cdot {10}^{-4}\cdot 10=-\mathrm{3,00}\cdot {10}^{-3}\text{ m}$

La imagen del árbol sobre la retina mide $\mathrm{3,0}\text{ mm}$ y está invertida, como indica el signo negativo.