Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Canarias · 2024

Considere un objeto de $15\text{ cm}$ de altura colocado a $\mathrm{0,25}\text{ m}$ de una lente delgada. La imagen producida es derecha y de $45\text{ cm}$ de altura.

a) Calcule a qué distancia de la lente se forma la imagen del objeto, así como la distancia focal imagen de la lente. ¿La imagen es real o virtual?

b) Calcule la potencia de la lente, indique el tipo de lente y realice el trazado de rayos.

c) Calcule, a partir de la ecuación de las lentes delgadas, la posición a la que debe situarse el objeto respecto de la lente para que su imagen se forme en el infinito. Realice el correspondiente trazado de rayos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{¿La}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{real}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{virtual?}}$

El aumento lateral relaciona los tamaños con las distancias. La imagen es derecha, luego tiene el mismo signo que el objeto:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{45}{15}}=3$

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=3s=3\cdot (-\mathrm{0,25})=-\mathrm{0,75}\text{ m}$

La imagen se forma a $75\text{ cm}$ de la lente, del mismo lado que el objeto. Al ser $s^{\mathrm{\prime }}<0$ la imagen es virtual: no puede recogerse sobre una pantalla, solo verse mirando a través de la lente.

Aplicando la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{0,75}}}-{\displaystyle \frac{1}{-\mathrm{0,25}}}=-\mathrm{1,33}+4=\mathrm{2,67}{\text{m}}^{-1}$

$f^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{0,375}\text{ m}=\mathrm{37,5}\text{ cm}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente,}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{realice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos.}}$

La potencia es la inversa de la distancia focal imagen expresada en metros:

$P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,375}}}=\mathrm{2,67}\text{ D}$

Como la distancia focal imagen es positiva, la lente es convergente. El objeto está más cerca de la lente que el foco objeto, que es la disposición de la lupa: la imagen sale virtual, derecha y mayor.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{lentes}}\mathbf{\text{delgadas,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{situarse}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{objeto}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forme}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{infinito.}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos.}}$

Que la imagen se forme en el infinito significa hacer $s^{\mathrm{\prime }}\to \mathrm{\infty }$, y entonces ${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}\to 0$:

$0-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow s=-f^{\mathrm{\prime }}$

$s=-\mathrm{0,375}\text{ m}=-\mathrm{37,5}\text{ cm}$

Hay que colocar el objeto justo en el foco objeto de la lente, a $\mathrm{37,5}\text{ cm}$. Los rayos emergen entonces paralelos entre sí y no se cortan en ningún punto a distancia finita.