Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Canarias · 2023

Se coloca un objeto de $8\text{ cm}$ de altura a $75\text{ cm}$ de una lente de $-2$ dioptrías.

a) Calcule la distancia focal de la lente e indique, razonando su respuesta, si la lente es convergente o divergente.

b) Calcule la posición a la que se formará la imagen del objeto, el tamaño de la imagen y su aumento lateral.

c) Dibuje el trazado de rayos y describa las características de la imagen.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{indique,}}\mathbf{\text{razonando}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{respuesta,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{convergente}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{divergente.}}$

La potencia de una lente es la inversa de su distancia focal imagen expresada en metros:

$P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{P}}={\displaystyle \frac{1}{-2}}=-\mathrm{0,5}\text{ m}=-50\text{ cm}$

La distancia focal imagen es negativa, luego la lente es divergente: el foco imagen queda a la izquierda de la lente y los rayos que llegan paralelos al eje salen separándose, como si procedieran de ese foco.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{formar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{objeto,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{aumento}}\mathbf{\text{lateral.}}$

Se aplica la ecuación de las lentes delgadas con $s=-75\text{ cm}$:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}$

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{-50}}+{\displaystyle \frac{1}{-75}}=-\mathrm{3,33}\cdot {10}^{-2}{\text{cm}}^{-1}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-30\text{ cm}$

El aumento lateral es:

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-30}{-75}}=\mathrm{0,4}$

Y el tamaño de la imagen:

$y^{\mathrm{\prime }}=\beta y=\mathrm{0,4}\cdot 8=\mathrm{3,2}\text{ cm}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{describa}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{caracter}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sticas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}$



La imagen se forma a $30\text{ cm}$ de la lente, del mismo lado que el objeto, y mide $\mathrm{3,2}\text{ cm}$.

Es virtual, porque $s^{\mathrm{\prime }}<0$: se forma con las prolongaciones de los rayos y no puede recogerse sobre una pantalla. Es derecha, porque el aumento lateral es positivo. Y es menor que el objeto, porque el aumento es menor que la unidad. Estas tres características se repiten siempre en una lente divergente, sea cual sea la posición del objeto.