Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2020

La figura representa una parte de la trayectoria de un rayo de luz que atraviesa un vidrio, una capa de agua y sale al aire.



a) Dibuje cualitativamente la trayectoria del rayo cuando sale al aire desde el agua. [0,5 puntos]

b) Calcule el índice de refracción del vidrio. (La dirección del rayo dentro del vidrio se mide con el ángulo $\theta$ sobre la escala de noventa grados.) [0,75 puntos]

c) Se cambia el vidrio por otro de índice de refracción 1,55. Calcule el valor del ángulo $\theta$ del rayo dentro del vidrio a partir del cual el rayo no pasa del agua al aire. [0,75 puntos]

Dato: ley de Snell, $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{cualitativamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{trayectoria}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{sale}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agua.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Las dos superficies son horizontales y paralelas, así que las normales son verticales.

El rayo pasa del agua al aire, que es menos refringente, de modo que se aleja de la normal: sale más tumbado que como venía. Aplicando la ley de Snell con el ángulo que trae dentro del agua, ${23}^{\circ }$:

$\mathrm{1,33}\sin {23}^{\circ }=1\cdot \sin {\theta }_{\text{aire}}$

${\theta }_{\text{aire}}=\arcsin (\mathrm{0,520})={\mathrm{31,3}}^{\circ }$





$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{vidrio.}}\mathbf{\text{(La}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mide}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathit{\theta }\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{escala}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{noventa}}\mathbf{\text{grados.)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La escala mide el ángulo del rayo respecto de la superficie de separación, no respecto de la normal. Sobre ella se lee:

$\theta ={70}^{\circ }$

de modo que el ángulo de incidencia, medido desde la normal, es el complementario:

${\theta }_{\text{vidrio}}={90}^{\circ }-{70}^{\circ }={20}^{\circ }$

Dentro del agua el rayo forma ${23}^{\circ }$ con la normal. Se aplica la ley de Snell en la superficie vidrio-agua:

$n_v\sin {\theta }_{\text{vidrio}}=n_{\text{agua}}\sin {\theta }_{\text{agua}}$

$n_v={\displaystyle \frac{\mathrm{1,33}\cdot \sin {23}^{\circ }}{\sin {20}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,33}\cdot \mathrm{0,3907}}{\mathrm{0,3420}}}$

$n_v=\mathrm{1,52}$

El índice de refracción del vidrio es $\mathrm{1,52}$, mayor que el del agua, como confirma que el rayo se aleje de la normal al pasar al agua.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{cambia}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{otro}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{1,55.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathit{\theta }\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{aire.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Que el rayo no pase del agua al aire significa que se refleja totalmente en la superficie superior, lo que ocurre cuando el ángulo en el agua alcanza el ángulo límite agua-aire:

$\sin {\theta }_L={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,33}}}=\mathrm{0,7519}\Rightarrow {\theta }_L={\mathrm{48,8}}^{\circ }$

Conviene encadenar las dos aplicaciones de la ley de Snell. En la superficie vidrio-agua y en la agua-aire:

$n_v\sin {\theta }_{\text{vidrio}}=n_{\text{agua}}\sin {\theta }_{\text{agua}}=1\cdot \sin {90}^{\circ }$

El índice del agua se cancela: la condición depende solo del vidrio y del aire.

$\sin {\theta }_{\text{vidrio}}={\displaystyle \frac{1}{n_v}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,55}}}=\mathrm{0,6452}$

${\theta }_{\text{vidrio}}={\mathrm{40,2}}^{\circ }$

Ese es el ángulo respecto de la normal. En la escala de noventa grados, que mide desde la superficie:

$\theta ={90}^{\circ }-{\mathrm{40,2}}^{\circ }={\mathrm{49,8}}^{\circ }$

El rayo deja de pasar al aire cuando la lectura de la escala baja de ${\mathrm{49,8}}^{\circ }$, es decir, cuando el rayo incide dentro del vidrio formando más de ${\mathrm{40,2}}^{\circ }$ con la normal.