Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2020

El filamento de una bombilla encendida se proyecta sobre una pantalla usando una lente delgada. Las distancias del filamento y de la pantalla a la lente son 15 cm y 75 cm, respectivamente.



a) Calcule la distancia focal de la lente usada. [0,75 puntos]

b) La imagen del filamento sobre la pantalla tiene una longitud de 2,5 cm. Calcule la longitud del filamento de la bombilla. [0,5 puntos]

c) El filamento y la pantalla se mantienen separados 90 cm. La lente se mueve hacia la pantalla hasta que el filamento vuelve a estar enfocado sobre la pantalla. Calcule a qué distancia de la pantalla ha quedado la lente. [0,75 puntos]

Datos (criterio DIN para lentes delgadas): ${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$; $M_T={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{focal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{usada.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Se emplea el criterio DIN: la luz viaja de izquierda a derecha, así que el filamento, que está a la izquierda, tiene distancia negativa, y la pantalla, donde se recoge la imagen real, positiva:

$s=-150\text{ mm},s^{\mathrm{\prime }}=+750\text{ mm}$





Se aplica la ecuación de Descartes para lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{750}}-{\displaystyle \frac{1}{-150}}$

${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}=\mathrm{1,333}\cdot {10}^{-3}+\mathrm{6,667}\cdot {10}^{-3}=\mathrm{8,0}\cdot {10}^{-3}{\text{mm}}^{-1}$

$f^{\mathrm{\prime }}=125\text{ mm}$

La distancia focal de la lente es de $125\text{ mm}$, y es convergente, como corresponde a una lente que forma una imagen real sobre una pantalla.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{filamento}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2,5}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{filamento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bombilla.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El aumento lateral es:

$M_T={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{750}{-150}}=-5$

El signo negativo indica que la imagen está invertida, y el valor absoluto, que es cinco veces mayor que el objeto. Se despeja la longitud del filamento:

$y={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{M_T}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,5}}{-5}}=-\mathrm{0,5}\text{ cm}$

El filamento mide $\mathrm{0,5}\text{ cm}$; el signo solo recuerda que objeto e imagen están orientados al revés.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{filamento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mantienen}}\mathbf{\text{separados}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{hacia}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{filamento}}\mathbf{\text{vuelve}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{estar}}\mathbf{\text{enfocado}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{quedado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $d$ a la distancia del filamento a la lente. Como la distancia total es de 900 mm, la distancia de la lente a la pantalla es $900-d$, y con el criterio DIN:

$s=-d,s^{\mathrm{\prime }}=900-d$

Se sustituye en la ecuación de Descartes con la focal ya conocida:

${\displaystyle \frac{1}{900-d}}+{\displaystyle \frac{1}{d}}={\displaystyle \frac{1}{125}}$

Se suman las fracciones del primer miembro:

${\displaystyle \frac{900}{(900-d)d}}={\displaystyle \frac{1}{125}}\Rightarrow (900-d)d=112500$

$d^2-900d+112500=0$

$d={\displaystyle \frac{900\pm \sqrt{810000-450000}}{2}}={\displaystyle \frac{900\pm 600}{2}}$

$d=150\text{ mm}\text{o}d=750\text{ mm}$

La primera solución es la posición de partida, así que al mover la lente hacia la pantalla se llega a la segunda:

$900-d=900-750=150\text{ mm}=15\text{ cm}$

La lente queda a $15\text{ cm}$ de la pantalla. Las dos posiciones son simétricas —objeto e imagen se intercambian—, y en la nueva la imagen es cinco veces menor que el filamento en lugar de cinco veces mayor.