Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2021

La figura representa un objeto delante de una lente delgada.



a) Copie la figura y dibuje los tres rayos principales para determinar la imagen de la flecha. [1 punto]

b) Use la ecuación de Descartes para calcular la distancia entre la lente y la imagen de una flecha con el pie sobre el eje óptico a 400 mm a la izquierda de la lente. Indique explícitamente si la imagen se forma a la izquierda o a la derecha de la lente. [0,6 puntos]

c) Una flecha de 1,2 cm de altura está a 0,42 m de la lente. La imagen de la flecha es real y se forma a 1,05 m de la lente. Calcule la altura de la imagen e indique si la imagen está derecha o invertida. [0,4 puntos]

Datos (criterio DIN para lentes delgadas): ${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$; $M_T={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Copie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{dibuje}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{principales}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{determinar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{flecha.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La figura muestra una lente convergente de $+300\text{ mm}$ de distancia focal con el objeto a 200 mm, es decir, dentro de la focal. Los tres rayos principales son:

i) El rayo paralelo al eje, que tras la lente pasa por el foco imagen $F^{\mathrm{\prime }}$.

ii) El rayo cuya prolongación pasa por el foco objeto $F$, que tras la lente sale paralelo al eje.

iii) El rayo que pasa por el centro óptico, que no se desvía.





Los tres rayos emergentes divergen: lo que se corta son sus prolongaciones, dibujadas con línea discontinua. Comprobamos el resultado con la ecuación de Descartes, con $s=-200\text{ mm}$:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{300}}-{\displaystyle \frac{1}{200}}=-\mathrm{1,667}\cdot {10}^{-3}{\text{mm}}^{-1}\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=-600\text{ mm}$

$M_T={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{-600}{-200}}=3$

La imagen es virtual, derecha y tres veces mayor que el objeto.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Use}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Descartes}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{flecha}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{pie}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{eje}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptico}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{400}}\mathbf{\text{mm}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{izquierda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{Indique}}\mathbf{\text{expl}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{citamente}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{izquierda}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora el objeto está más allá del foco, así que cabe esperar una imagen real. Con $s=-400\text{ mm}$:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{300}}+{\displaystyle \frac{1}{-400}}$

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}=\mathrm{3,333}\cdot {10}^{-3}-\mathrm{2,500}\cdot {10}^{-3}=\mathrm{8,333}\cdot {10}^{-4}{\text{mm}}^{-1}$

$s^{\mathrm{\prime }}=+1200\text{ mm}$

La imagen se forma a 1200 mm de la lente. El signo positivo indica que está a la derecha, del lado por donde sale la luz: es una imagen real.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{flecha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1,2}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{0,42}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{flecha}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{real}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{1,05}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{invertida.}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Que la imagen sea real significa que se forma a la derecha de la lente:

$s=-420\text{ mm},s^{\mathrm{\prime }}=+1050\text{ mm}$

El aumento lateral es:

$M_T={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}={\displaystyle \frac{1050}{-420}}=-\mathrm{2,5}$

Y la altura de la imagen:

$y^{\mathrm{\prime }}=M_{T}y=-\mathrm{2,5}\cdot \mathrm{1,2}=-\mathrm{3,0}\text{ cm}$

La imagen mide $\mathrm{3,0}\text{ cm}$ y está invertida, como indica el signo negativo del aumento: es lo propio de una imagen real dada por una lente convergente.

Puede comprobarse que los datos corresponden a la misma lente:

${\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{1050}}-{\displaystyle \frac{1}{-420}}=\mathrm{3,333}\cdot {10}^{-3}{\text{mm}}^{-1}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}=300\text{ mm}$