Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Islas Baleares · 2021

El rayo de un láser se dirige hacia un bloque de plástico de sección rectangular e índice de refracción $n_v=\mathrm{1,4}$. El rayo se dirige en una dirección A y, después, en otra dirección B. Las dos direcciones se han representado en la figura. Use el portaángulos de ${180}^{\circ }$ dibujado para determinar el ángulo de incidencia del rayo sobre el bloque en cada caso.



a) Cuando el rayo ha seguido la dirección A dentro del aire, pasa por un punto P de la cara inferior del bloque, a la derecha del punto M de la vertical del punto de refracción. Calcule la distancia entre los puntos P y M. [0,8 puntos]

b) Calcule cuánto tiempo tarda la luz en avanzar 3 cm a lo largo del segmento R-P. [0,4 puntos]

c) Cuando el rayo ha seguido la dirección B dentro del aire, llega al punto Q de la cara derecha del bloque. Determine si el rayo se refleja totalmente o no en este punto. [0,8 puntos]

Datos: $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$; ley de Snell, $n_1\sin {\theta }_1=n_2\sin {\theta }_2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Cuando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{seguido}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{aire,}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{bloque,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{M}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{vertical}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{M.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$










La cara superior del bloque es horizontal, de modo que la normal en el punto de entrada R es vertical. Sobre el portaángulos se lee que la dirección A forma con esa normal:

${\theta }_A={25}^{\circ }$

Al entrar en el plástico el rayo se acerca a la normal:

$\sin {25}^{\circ }=\mathrm{1,4}\sin \theta$

$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4226}}{\mathrm{1,4}}}=\mathrm{0,3019}\Rightarrow \theta ={\mathrm{17,6}}^{\circ }$





Dentro del bloque el rayo recorre los 5 cm de grosor formando ese ángulo con la vertical RM, así que el triángulo RMP es rectángulo en M:

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\overline{MP}}{\overline{RM}}}\Rightarrow \overline{MP}=e\tan \theta$

$\overline{MP}=5\cdot \tan {\mathrm{17,6}}^{\circ }=5\cdot \mathrm{0,3169}$

$\overline{MP}=\mathrm{1,58}\text{ cm}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{tarda}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{avanzar}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{segmento}}\mathbf{\text{R-P.}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El segmento R-P está dentro del plástico, donde la luz se propaga más despacio que en el vacío:

$v={\displaystyle \frac{c}{n_v}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,4}}}=\mathrm{2,14}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

El movimiento es rectilíneo y uniforme:

$t={\displaystyle \frac{e}{v}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-2}}{\mathrm{2,14}\cdot {10}^8}}$

$t=\mathrm{1,4}\cdot {10}^{-10}\text{ s}=\mathrm{0,14}\text{ ns}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Cuando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{seguido}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{aire,}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{Q}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cara}}\mathbf{\text{derecha}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{bloque.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{refleja}}\mathbf{\text{totalmente}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{punto.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sobre el portaángulos se lee que la dirección B forma ${55}^{\circ }$ con la normal a la cara superior. Al entrar en el plástico:

$\sin {55}^{\circ }=\mathrm{1,4}\sin {\theta }^{\mathrm{\prime }}\Rightarrow \sin {\theta }^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8192}}{\mathrm{1,4}}}=\mathrm{0,5851}$

${\theta }^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{35,8}}^{\circ }$

Ese es el ángulo que forma el rayo con la vertical. Pero la cara derecha del bloque es vertical, así que su normal es horizontal y el ángulo de incidencia sobre ella es el complementario:

${\theta }_Q={90}^{\circ }-{\mathrm{35,8}}^{\circ }={\mathrm{54,2}}^{\circ }$

Se compara con el ángulo límite del plástico en aire:

$\sin {\theta }_L={\displaystyle \frac{1}{n_v}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,4}}}=\mathrm{0,7143}\Rightarrow {\theta }_L={\mathrm{45,6}}^{\circ }$

Como ${\mathrm{54,2}}^{\circ }>{\mathrm{45,6}}^{\circ }$, el rayo sí se refleja totalmente en el punto Q: no sale nada de luz por la cara derecha y toda vuelve al interior del bloque.

Obsérvese que un rayo más inclinado sobre la cara superior produce un rayo más tumbado respecto de la cara lateral, y por eso el rayo B se refleja totalmente mientras que el A ni siquiera llega a esa cara.