Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2022

Una espira circular de 15 cm de radio está dentro de un campo magnético perpendicular al plano de la espira. La intensidad del campo en el intervalo de 0 a 2 s vale

$B(t)=6t-3t^2\text{ mT}\mathrm{.}$

Otra espira gira a velocidad angular $\omega$ dentro de un campo magnético uniforme y el flujo de campo magnético a través de la espira es

$\varphi (t)=30\cos (\omega t-\mathrm{2,45}\text{ rad})\text{ mWb}\mathrm{.}$

a) Para la primera espira, determine la expresión de la fuerza electromotriz en función del tiempo e indique el nombre de la ley usada. [0,5 puntos]

b) Calcule en qué instante del intervalo $[0,2\text{ s}]$ la fuerza electromotriz anterior es nula, en qué instante es máxima y cuánto vale el valor máximo. [0,9 puntos]

c) Para la segunda espira, calcule la velocidad angular necesaria para que la fuerza electromotriz máxima sea de 0,3 V. [0,6 puntos]

Dato: $\text{fem}=-{\displaystyle \frac{d\varphi (t)}{dt}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{espira,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{electromotriz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nombre}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ley}}\mathbf{\text{usada.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La ley que se usa es la ley de Faraday-Lenz de la inducción electromagnética: la fuerza electromotriz inducida en un circuito es la derivada del flujo magnético que lo atraviesa, cambiada de signo.

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\varphi }{dt}}$

Como el campo es perpendicular al plano de la espira, el flujo es simplemente el producto del campo por la superficie, que es constante:

$\varphi (t)=B(t)S,S=\pi R^2=\pi (\mathrm{0,15}{)}^2=\mathrm{7,069}\cdot {10}^{-2}{\text{m}}^2$

Por tanto:

$\epsilon =-S{\displaystyle \frac{dB}{dt}}=-S{\displaystyle \frac{d}{dt}}[(6t-3t^2)\cdot {10}^{-3}]$

$\epsilon =-\mathrm{7,069}\cdot {10}^{-2}\cdot (6-6t)\cdot {10}^{-3}$

$\epsilon (t)=\mathrm{4,24}\cdot {10}^{-4}(t-1)\text{ V}=\mathrm{0,424}(t-1)\text{ mV}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">[</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mtext> s</mtext><mo\; stretchy="false">]</mo></mrow>}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{electromotriz}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{nula,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{vale}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{[0,9}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La fuerza electromotriz es una función lineal del tiempo, así que se anula en un solo punto:

$\mathrm{0,424}(t-1)=0\Rightarrow t=1\text{ s}$

En ese instante el campo magnético pasa por su máximo —la parábola $6t-3t^2$ tiene el vértice en $t=1\text{ s}$— y por eso el flujo deja momentáneamente de variar.

Al ser lineal, el valor absoluto de la fuerza electromotriz es máximo en los extremos del intervalo:

$\mathrm{\mid }\epsilon (0)\mathrm{\mid }=\mathrm{0,424}\cdot \mathrm{\mid }0-1\mathrm{\mid }=\mathrm{0,424}\text{ mV}$

$\mathrm{\mid }\epsilon (2)\mathrm{\mid }=\mathrm{0,424}\cdot \mathrm{\mid }2-1\mathrm{\mid }=\mathrm{0,424}\text{ mV}$

Los dos valen lo mismo, de modo que la fuerza electromotriz alcanza su valor máximo en $t=0\text{ s}$ y en $t=2\text{ s}$, y vale $\mathrm{0,424}\text{ mV}$. En el primer instante es negativa y en el segundo positiva: el flujo primero crece y después decrece, y la corriente inducida se opone a cada cambio.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{segunda}}\mathbf{\text{espira,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{necesaria}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{electromotriz}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,3}}\mathbf{\text{V.}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se deriva el flujo de la segunda espira:

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\varphi }{dt}}=-{\displaystyle \frac{d}{dt}}[30\cdot {10}^{-3}\cos (\omega t-\mathrm{2,45})]$

$\epsilon =30\cdot {10}^{-3}\omega \sin (\omega t-\mathrm{2,45})$

El valor máximo se alcanza cuando el seno vale 1:

${\epsilon }_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=30\cdot {10}^{-3}\omega$

Se despeja la velocidad angular:

$\omega ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}}{30\cdot {10}^{-3}}}=10\text{ rad/s}$

La espira ha de girar a $10\text{ rad/s}$, es decir, a algo menos de dos vueltas por segundo.