Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2021

El flujo de campo magnético a través de una espira circular durante el intervalo de 0 a 4 s está dado por la siguiente función del tiempo en segundos,

$\varphi (t)=4t-t^2\mu \text{Wb}\mathrm{.}$

a) Calcule en qué instante la fuerza electromotriz inducida en la espira es cero y en qué instante del intervalo es máxima. Escriba el nombre de la ley usada para hacer el cálculo. [1 punto]

b) Determine el radio de la espira si el campo magnético es uniforme, tiene una intensidad de 0,2 mT y es perpendicular al plano de la espira en $t=1\text{ s}$. [1 punto]

Dato: $\text{fem}=-{\displaystyle \frac{d\varphi (t)}{dt}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{electromotriz}}\mathbf{\text{inducida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{espira}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{cero}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima.}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nombre}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ley}}\mathbf{\text{usada}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lculo.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La ley que se usa es la ley de Faraday-Lenz de la inducción electromagnética: la fuerza electromotriz inducida es la derivada del flujo magnético cambiada de signo.

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\varphi }{dt}}=-{\displaystyle \frac{d}{dt}}[(4t-t^2)\cdot {10}^{-6}]$

$\epsilon (t)=-(4-2t)\cdot {10}^{-6}=(2t-4)\mu \text{V}$

La fuerza electromotriz es una función lineal del tiempo y se anula en un solo instante:

$2t-4=0\Rightarrow t=2\text{ s}$

En ese instante el flujo pasa por su máximo —la parábola $4t-t^2$ tiene el vértice en $t=2\text{ s}$— y por eso deja momentáneamente de variar.

Al ser lineal, el valor absoluto de la fuerza electromotriz es máximo en los extremos del intervalo:

$\mathrm{\mid }\epsilon (0)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-4\mathrm{\mid }=4\mu \text{V},\mathrm{\mid }\epsilon (4)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }4\mathrm{\mid }=4\mu \text{V}$

Los dos valen lo mismo, de modo que la fuerza electromotriz alcanza su máximo, $4\mu \text{V}$, tanto en $t=0\text{ s}$ como en $t=4\text{ s}$. En el primer instante es negativa y en el segundo positiva, porque el flujo primero crece y después decrece.



Se evalúa el flujo en ese instante:

$\varphi (1)=4\cdot 1-1^2=3\mu \text{Wb}=3\cdot {10}^{-6}\text{ Wb}$

Como el campo es perpendicular al plano de la espira, es paralelo al vector superficie y el flujo es máximo:

$\varphi =BS\Rightarrow S={\displaystyle \frac{\varphi }{B}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,2}\cdot {10}^{-3}}}$

$S=\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-2}{\text{m}}^2$

Y de la superficie del círculo se despeja el radio:

$S=\pi R^2\Rightarrow R=\sqrt{{\displaystyle \frac{S}{\pi }}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}\cdot {10}^{-2}}{\pi }}}$

$R=\mathrm{6,91}\cdot {10}^{-2}\text{ m}=\mathrm{6,91}\text{ cm}$

El radio de la espira es de $\mathrm{6,91}\text{ cm}$.