Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Baleares · 2023

La intensidad de un sonido con un frente de onda esférico es de 86,0 dB a 20 m de la fuente. Calcule:

a) Los decibelios que se miden a 50 m de la fuente. [0,6 puntos]

b) La distancia de la fuente a la que se miden 83,0 dB. [0,6 puntos]

c) El aumento en decibelios de la intensidad del sonido cuando la distancia a la fuente se divide por cuatro desde cualquier distancia inicial. [0,8 puntos]

Datos: $I(\text{dB})=10\log {\displaystyle \frac{I}{{10}^{-12}{\text{W m}}^{-2}}}$; $I_{1}4\pi r_1^2=I_{2}4\pi r_2^2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Los}}\mathbf{\text{decibelios}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{miden}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuente.}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}$










El frente de onda es esférico y no hay absorción, así que toda la potencia que emite la fuente atraviesa cualquier esfera centrada en ella. La intensidad va, por tanto, con el inverso del cuadrado de la distancia:

$I_{1}4\pi r_1^2=I_{2}4\pi r_2^2\Rightarrow {\displaystyle \frac{I_2}{I_1}}={\left({\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}\right)}^2$





Restando las dos expresiones del nivel de intensidad sonora se pasa directamente al cociente de intensidades:

${\beta }_2-{\beta }_1=10\log {\displaystyle \frac{I_2}{I_1}}=10\log {\left({\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}\right)}^2=20\log {\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}$

${\beta }_2-{\beta }_1=20\log {\displaystyle \frac{20}{50}}=20\cdot (-\mathrm{0,398})=-\mathrm{7,96}\text{ dB}$

${\beta }_2=\mathrm{86,0}-\mathrm{7,96}=\mathrm{78,0}\text{ dB}$

A 50 m de la fuente se miden $\mathrm{78,0}\text{ dB}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuente}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{miden}}\mathbf{\text{83,0}}\mathbf{\text{dB.}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se plantea la misma relación, ahora con la caída de 3,0 dB:

$\mathrm{83,0}-\mathrm{86,0}=20\log {\displaystyle \frac{20}{r}}$

$\log {\displaystyle \frac{20}{r}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{3,0}}{20}}=-\mathrm{0,15}$

${\displaystyle \frac{20}{r}}={10}^{-\mathrm{0,15}}=\mathrm{0,708}$

$r={\displaystyle \frac{20}{\mathrm{0,708}}}=\mathrm{28,3}\text{ m}$

Los $\mathrm{83,0}\text{ dB}$ se miden a $\mathrm{28,3}\text{ m}$ de la fuente.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{aumento}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{decibelios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intensidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sonido}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuente}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{divide}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{cualquier}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{inicial.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se repite el razonamiento con $r_2=r_1\mathrm{/}4$, sin dar ningún valor concreto a $r_1$:

$\mathrm{\Delta }\beta =20\log {\displaystyle \frac{r_1}{r_2}}=20\log {\displaystyle \frac{r_1}{r_1\mathrm{/}4}}=20\log 4$

$\mathrm{\Delta }\beta =20\cdot \mathrm{0,602}=\mathrm{12,0}\text{ dB}$

El nivel de intensidad sonora aumenta $\mathrm{12,0}\text{ dB}$ siempre que la distancia se divida por cuatro, sea cual sea la distancia de partida. La razón es que el nivel depende del logaritmo del cociente de intensidades, y ese cociente —dieciséis veces más intensidad— solo depende de la razón de distancias, no de sus valores.