Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2023

Una espira circular de 2 cm de radio está dentro de un campo magnético uniforme. Calcule:

a) La intensidad del campo magnético perpendicular al plano de la espira que da un flujo de 9 μWb a través de la espira (figura a). [0,5 puntos]

b) El flujo a través de la espira cuando el campo magnético sea de 12 mT y la dirección forme un ángulo de ${20}^{\circ }$ con el campo anterior (figura b). [0,5 puntos]

c) La fuerza electromotriz máxima inducida en la espira si el campo magnético deja de ser constante y el flujo a través de la espira es $\varphi (t)=5t^2(t-6)\text{ mWb}$ entre $t=0$ y $t=6\text{ s}$. [1 punto]



Dato: $\text{fem}=-{\displaystyle \frac{d\varphi (t)}{dt}}$.

El flujo magnético a través de una superficie plana en un campo uniforme es:

$\mathrm{\Phi }=\vec{B}\cdot \vec{S}=BS\cos \alpha$

donde $\alpha$ es el ángulo entre el campo y el vector superficie, que es perpendicular al plano de la espira. En la figura a el campo es perpendicular al plano, es decir, paralelo al vector superficie, y el flujo es máximo:

$\alpha =0^{\circ }\Rightarrow \mathrm{\Phi }=BS$

La superficie de la espira vale:

$S=\pi R^2=\pi (\mathrm{0,02}{)}^2=\mathrm{1,257}\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^2$

Se despeja el campo:

$B={\displaystyle \frac{\mathrm{\Phi }}{S}}={\displaystyle \frac{9\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{1,257}\cdot {10}^{-3}}}=\mathrm{7,16}\cdot {10}^{-3}\text{ T}=\mathrm{7,16}\text{ mT}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{flujo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{trav}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{espira}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{magn}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{mT}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{forme}}\mathbf{\text{un}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<msup><mn\; mathvariant="bold">20</mn><mo\; mathvariant="bold-italic">\circ </mo></msup>}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{(figura}}\mathbf{\text{b).}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El campo anterior era perpendicular al plano de la espira, es decir, paralelo al vector superficie. Si el nuevo campo forma ${20}^{\circ }$ con aquel, forma también ${20}^{\circ }$ con el vector superficie:

$\mathrm{\Phi }=BS\cos {20}^{\circ }$

$\mathrm{\Phi }=12\cdot {10}^{-3}\cdot \mathrm{1,257}\cdot {10}^{-3}\cdot \mathrm{0,9397}$

$\mathrm{\Phi }=\mathrm{1,42}\cdot {10}^{-5}\text{ Wb}=\mathrm{14,2}\mu \text{Wb}$



Por la ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida es la derivada del flujo cambiada de signo. Se desarrolla primero el flujo:

$\varphi (t)=5t^3-30t^2\text{ (en mWb)}$

$\epsilon =-{\displaystyle \frac{d\varphi }{dt}}=-(15t^2-60t)=60t-15t^2\text{ (en mV)}$

Para buscar el máximo de su valor absoluto en el intervalo $[0,6]$ se estudian los puntos críticos y los extremos del intervalo. Anulando la derivada:

${\displaystyle \frac{d\epsilon }{dt}}=60-30t=0\Rightarrow t=2\text{ s}$

$\epsilon (2)=60\cdot 2-15\cdot 2^2=60\text{ mV}$

Y en los extremos del intervalo:

$\epsilon (0)=0\text{ mV}$

$\epsilon (6)=60\cdot 6-15\cdot 6^2=360-540=-180\text{ mV}$

El valor de mayor módulo es el del instante final, porque la parábola $60t-15t^2$ se anula en $t=4\text{ s}$ y luego crece en valor absoluto hasta el final del intervalo.

$\mathrm{\mid }\epsilon {\mathrm{\mid }}_{\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=180\text{ mV}\text{en }t=6\text{ s}$

La fuerza electromotriz máxima inducida es de $180\text{ mV}$, y se alcanza en el instante $t=6\text{ s}$. El signo negativo indica solamente que en ese tramo el flujo crece y la corriente inducida se opone a ese aumento.