Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Islas Baleares · 2024

Las ecuaciones de unas ondas mecánicas transversales con $y$ expresado en cm, $x$ en metros y $t$ en segundos, son:

$y_1(x,t)=8\sin (\mathrm{4,2}x-\mathrm{1,8}t+\pi \mathrm{/}4),$

$y_2(x,t)=16\cos (\mathrm{0,7}x-{\omega }_{2}t)\mathrm{.}$

Calcule:

a) La longitud de onda y el período de la primera onda. [0,4 puntos]

b) El valor de ${\omega }_2$ para que las dos ondas se propaguen a la misma velocidad. [0,5 puntos]

c) El valor de ${\omega }_2$ para que la velocidad máxima de oscilación vertical de las partículas en las dos ondas sea la misma. [0,5 puntos]

d) Las tres primeras posiciones con $x$ positiva donde la perturbación de la primera onda es máxima y positiva en $t=0$. [0,6 puntos]

Datos: $k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}$; $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$; $v={\displaystyle \frac{\lambda }{T}}={\displaystyle \frac{\omega }{k}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{onda.}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Comparando la ecuación de la primera onda con la forma general

$y(x,t)=A\sin (kx-\omega t+\delta )$

se identifican el número de onda y la pulsación:

$k_1=\mathrm{4,2}{\text{m}}^{-1},{\omega }_1=\mathrm{1,8}\text{ rad/s}$

La longitud de onda se obtiene del número de onda:

${\lambda }_1={\displaystyle \frac{2\pi }{k_1}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{4,2}}}=\mathrm{1,50}\text{ m}$

Y el período, de la pulsación:

$T_1={\displaystyle \frac{2\pi }{{\omega }_1}}={\displaystyle \frac{2\pi }{\mathrm{1,8}}}=\mathrm{3,49}\text{ s}$



La velocidad de propagación de una onda armónica es:

$v={\displaystyle \frac{\omega }{k}}$

Para la primera onda:

$v_1={\displaystyle \frac{\mathrm{1,8}}{\mathrm{4,2}}}=\mathrm{0,429}\text{ m/s}$

Se impone que la segunda tenga la misma velocidad, con $k_2=\mathrm{0,7}{\text{m}}^{-1}$:

${\displaystyle \frac{{\omega }_2}{k_2}}=v_1\Rightarrow {\omega }_2=v_1{k}_2=\mathrm{0,429}\cdot \mathrm{0,7}$

${\omega }_2=\mathrm{0,3}\text{ rad/s}$



La velocidad de oscilación de una partícula es la derivada de la elongación respecto del tiempo, y su valor máximo es:

$v_{y,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x}}=A\omega$

No debe confundirse con la velocidad de propagación del apartado anterior: esta es la de cada punto del medio, que solo se mueve arriba y abajo.

Para la primera onda:

$v_{y,\text{m}\acute{\text{a}}\text{x},1}=8\cdot \mathrm{1,8}=\mathrm{14,4}\text{ cm/s}$

Se impone la igualdad, con $A_2=16\text{ cm}$:

$A_2{\omega }_2=\mathrm{14,4}\Rightarrow {\omega }_2={\displaystyle \frac{\mathrm{14,4}}{16}}$

${\omega }_2=\mathrm{0,9}\text{ rad/s}$



La elongación de la primera onda es máxima y positiva cuando el seno vale 1, es decir, cuando su argumento es $\pi \mathrm{/}2$ más un número entero de vueltas:

$k_{1}x-{\omega }_{1}t+\delta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

En el instante $t=0$ y con $\delta =\pi \mathrm{/}4$:

$\mathrm{4,2}x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi n$

Se despeja la posición:

$x={\displaystyle \frac{\frac{\pi }{4}+2\pi n}{\mathrm{4,2}}}$

Para $n=0$:

$x_1={\displaystyle \frac{\mathrm{0,785}}{\mathrm{4,2}}}=\mathrm{0,187}\text{ m}$

Para $n=1$:

$x_2={\displaystyle \frac{\mathrm{0,785}+\mathrm{6,283}}{\mathrm{4,2}}}=\mathrm{1,68}\text{ m}$

Para $n=2$:

$x_3={\displaystyle \frac{\mathrm{0,785}+\mathrm{12,566}}{\mathrm{4,2}}}=\mathrm{3,18}\text{ m}$

Las tres primeras posiciones positivas son $\mathrm{0,187}\text{ m}$, $\mathrm{1,68}\text{ m}$ y $\mathrm{3,18}\text{ m}$. Están separadas exactamente una longitud de onda, $\mathrm{1,50}\text{ m}$, como tenía que ser.