Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Dados dos sucesos, $A$ y $B$, de un experimento aleatorio, sabemos que $P(A)=\mathrm{0,5}$, que $P(B)=\mathrm{0,1}$ y que $P(A\mid B)=x$, donde $x\in [0,1]$. Se pide:

a) ¿Existe algún valor de $x$ para el cual los sucesos sean independientes? [1 punto]

b) ¿Para qué valor de $x$ se tiene que la probabilidad de $A\cap B$ es máxima? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Existe}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{independientes?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Dos sucesos son independientes cuando el hecho de saber que uno ha ocurrido no cambia la probabilidad del otro, es decir, cuando la probabilidad condicionada coincide con la probabilidad a secas.

$A\text{ y }B\text{ independientes}⟺P(A\mid B)=P(A)$

Como el enunciado nos dice que $P(A\mid B)=x$ y que $P(A)=\mathrm{0,5}$, la condición se traduce en una igualdad inmediata.

$x=P(A\mid B)=P(A)=\mathrm{0,5}$

El valor $x=\mathrm{0,5}$ pertenece al intervalo $[0,1]$, luego es admisible. Comprobamos que con él se cumple también la otra forma de la condición de independencia.

$P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B)=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{0,05}$

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{0,05}=P(A\cap B)$

Sí existe: para $x=\mathrm{0,5}$ los sucesos $A$ y $B$ son independientes.



Escribimos la probabilidad de la intersección a partir de la definición de probabilidad condicionada.

$P(A\mid B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}\Rightarrow P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B)$

$P(A\cap B)=x\cdot \mathrm{0,1}=\mathrm{0,1}x$

La probabilidad de la intersección es una función lineal de $x$ con pendiente positiva, así que crece cuando crece $x$ y alcanza su máximo en el extremo derecho del intervalo en el que se mueve la incógnita.

$x\in [0,1]\Rightarrow \text{el m}\acute{\text{a}}\text{ximo se da en }x=1$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,1}\cdot 1=\mathrm{0,1}$

Ese valor es coherente: $P(A\mid B)=1$ significa que siempre que ocurre $B$ ocurre también $A$, o sea que $B\subset A$, y entonces $A\cap B=B$. Puede pasar porque $P(B)=\mathrm{0,1}\le \mathrm{0,5}=P(A)$.

$A\cap B=B\Rightarrow P(A\cap B)=P(B)=\mathrm{0,1}$

La probabilidad de $A\cap B$ es máxima para $x=1$, y ese máximo vale 0,1. Nunca puede ser mayor, porque la intersección está contenida en $B$.