Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

En una población,

— el 50 % de habitantes con mayor poder adquisitivo tienen una probabilidad de vivir de alquiler de un 10 %, y

— el 50 % de habitantes con menor poder adquisitivo tienen una probabilidad de vivir de alquiler de un 40 %.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, escogiendo un habitante al azar, este viva de alquiler? [4 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que, escogiendo de manera independiente tres habitantes al azar, los tres vivan de alquiler? [3 puntos]

c) ¿Cuál es la probabilidad de que, escogiendo de manera independiente tres habitantes al azar, al menos uno de los tres viva de alquiler? [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{escogiendo}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{habitante}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{viva}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{alquiler?}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Nombramos los sucesos:

$M\equiv$ tener mayor poder adquisitivo,

$m\equiv$ tener menor poder adquisitivo,

$L\equiv$ vivir de alquiler.

Los datos del enunciado son las dos probabilidades de partida y las dos condicionadas.

$P(M)=\mathrm{0,5},P(m)=\mathrm{0,5}$

$P(L\mathrm{/}M)=\mathrm{0,1},P(L\mathrm{/}m)=\mathrm{0,4}$

Hacemos un diagrama de árbol.



Los sucesos $M$ y $m$ forman un sistema completo, así que se aplica el teorema de la probabilidad total: se recorren las dos ramas que acaban en «vive de alquiler» y se suman sus productos.

$P(L)=P(M)\cdot P(L\mathrm{/}M)+P(m)\cdot P(L\mathrm{/}m)$

$P(L)=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,1}+\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,05}+\mathrm{0,20}=\mathrm{0,25}$

Escogiendo un habitante al azar, la probabilidad de que viva de alquiler es de $\mathrm{0,25}$, es decir, un 25 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{escogiendo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{manera}}\mathbf{\text{independiente}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{habitantes}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{vivan}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{alquiler?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Al ser las tres elecciones independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.

$P(\text{los tres})=P(L)\cdot P(L)\cdot P(L)={(P(L))}^3$

$P(\text{los tres})={\mathrm{0,25}}^3={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^3={\displaystyle \frac{1}{64}}=\mathrm{0,015625}$

La probabilidad de que los tres habitantes escogidos vivan de alquiler es de $1\mathrm{/}64\approx \mathrm{0,0156}$, es decir, un 1,56 %.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{escogiendo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{manera}}\mathbf{\text{independiente}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{habitantes}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{viva}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{alquiler?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

«Al menos uno» reúne muchos casos (uno, dos o tres), así que resulta más corto pasar por el suceso contrario, que es «ninguno de los tres vive de alquiler».

$P(\bar{L})=1-P(L)=1-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}$

$P(\text{ninguno})={\mathrm{0,75}}^3={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^3={\displaystyle \frac{27}{64}}=\mathrm{0,421875}$

$P(\text{al menos uno})=1-P(\text{ninguno})=1-{\displaystyle \frac{27}{64}}={\displaystyle \frac{37}{64}}$

$P(\text{al menos uno})=\mathrm{0,578125}$

La probabilidad de que al menos uno de los tres habitantes viva de alquiler es de $37\mathrm{/}64\approx \mathrm{0,5781}$, es decir, un 57,81 %.